大阪大学 2020年度
理系数学 第2問

解答

$S_n=X_1+X_2+\cdots +X_n$ とおくと $Z_n=\exp \left(\frac{\pi i}{3}{S}_n\right)$ である。$Z_n$ が実数となるのは、偏角 $\frac{\pi }{3}{S}_n$ が $\pi$ の整数倍となるとき、すなわち $S_n\equiv 0(\mathrm{mod}3)$ のときである。

(1)

$S_2$ の取り得る値は $-2,-1,0,1,2$ である。この中で3の倍数は0だけである。したがって $Z_2$ が実数となるのは $S_2=0$ のときで、

である。よって $Z_2$ が実数でない確率は $\boxed{\frac{1}{2}}$ である。

(2)

$Z_k$ が実数でないことは $S_k\not\equiv 0(\mathrm{mod}3)$ と同値である。最初は $S_0\equiv 0(\mathrm{mod}3)$ であるから、$k=1$ で実数でないためには $X_1=1またはX_1=-1$ でなければならない。その確率は $\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$ である。

その後、余りが1または2の状態にいるとする。余り1から余り0へ戻るのは $X=-1$ のときだけ、余り2から余り0へ戻るのは $X=1$ のときだけである。したがって、どちらの場合も余り0を避ける確率は $1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$ である。これを $n-1$ 回続ければよいので、求める確率は $\boxed{\frac{1}{3}{\left(\frac{5}{6}\right)}^{n-1}}$ である。

(3)

$p_n=P(S_n\equiv 0(\mathrm{mod}3))$ とおく。$n+1$ 回後に余り0であるには、$n$ 回後に余り0で $X_{n+1}=0$ となるか、余り1または2からちょうど余り0へ移るかである。余り1、2のどちらからでも余り0へ移る確率は $\frac{1}{6}$ なので $p_{n+1}=\frac{4}{6}{p}_n+\frac{1}{6}(1-p_n)=\frac{1}{2}{p}_n+\frac{1}{6}$ である。初期値は $S_0=0$ より $p_0=1$ である。

これを $p_{n+1}-\frac{1}{3}=\frac{1}{2}\left(p_n-\frac{1}{3}\right)$ と変形すると、

である。よって $\boxed{p_n=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}{\left(\frac{1}{2}\right)}^n}$ であり、$n\to \infty$ とすると $\boxed{\underset{n\to \infty }{\lim }{p}_n=\frac{1}{3}}$ である。