大阪大学 2020年度
理系数学 第1問

解答

$u=x+1$ とおくと、$x\geqq 0$ より $u\geqq 1$ であり、$f(x)=u^{1/u}$ である。$f(x)>0$ だから対数をとって $\log f(x)=\frac{\log u}{u}$ とおける。

増減と最大値

$g(u)=\frac{\log u}{u}$ とすると $g^{\prime }(u)=\frac{1-\log u}{u^2}$ である。$u=x+1$ だから、$x$ で見ても符号は同じである。したがって

となる。指数関数は単調増加なので、$f(x)$ も同じ増減をもつ。よって最大となるのは $u=e,すなわちx=e-1$ のときであり、その最大値は $\boxed{e^{1/e}}$ である。

極限

${\lim }_{x\to \infty }\log f(x)={\lim }_{u\to \infty }\frac{\log u}{u}=0$ であるから $\boxed{\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=1}$ である。また $f^{\prime }(x)=f(x)\cdot \frac{1-\log (x+1)}{(x+1{)}^2}$ であり、$f(x)\to 1$、$\frac{1-\log (x+1)}{(x+1{)}^2}\to 0$ より $\boxed{\underset{x\to \infty }{\lim }{f}^{\prime }(x)=0}$ である。

グラフ

$f(0)=1$ であり、$0<x<e-1$ では増加、$x>e-1$ では減少する。また $x>0$ では $u>1$ だから $\log u>0$ となり、$\log f(x)=\frac{\log u}{u}>0$ すなわち $f(x)>1$ である。したがってグラフは $(0,1)$ から増加して $(e-1,e^{1/e})$ で最大となり、その後は $y=1$ より上側から水平に近づく。接線の傾きも無限遠で0に近づく。