大阪大学 2018年度
理系数学 第5問

解答

(1)

$n$ 試合目にAが勝つ確率を $a_n$ とする。$n$ 試合目にAが勝っていれば、次にAが勝つ確率は $p$ であり、Bが勝っていれば、次にAが勝つ確率は $q$ である。したがって $a_{n+1}=p{a}_n+q(1-a_n)=q+(p-q)a_n$ である。

この漸化式の定数解を $\alpha$ とすると、$\alpha =q+(p-q)\alpha$ より $\alpha =\frac{q}{1-p+q}$ である。よって $a_{n+1}-\alpha =(p-q)(a_n-\alpha )$ となる。$a_1=p$ だから $a_n=\alpha +(p-\alpha )(p-q{)}^{n-1}$ であり、すなわち $a_n=\frac{q}{1-p+q}+\left(p-\frac{q}{1-p+q}\right)(p-q{)}^{n-1}$ である。

(2)

Bが勝つ2試合を $i$ 試合目と $j$ 試合目とする。$i<j$ としてよい。Bが連勝しない条件は $j\geqq i+2$ である。

まず $j<n$ の場合を考える。このとき2回のB勝ちの直後には、どちらもA勝ちが続く必要がある。2回のB勝ちは、1試合目なら確率 $1-p$、直前がA勝ちなら確率 $1-p$ で起こるので、B勝ち2回から $(1-p{)}^2$ が出る。また、それぞれのB勝ちの直後にAが勝つ確率から $q^2$ が出る。残りのA勝ちからA勝ちへの移り方は $n-4$ 回なので、各配置の確率は $(1-p{)}^2{q}^2{p}^{n-4}$ である。 $j<n$ かつ $j\geqq i+2$ を満たす組の個数は ${\sum }_{i=1}^{n-3}(n-i-2)=1+2+\cdots +(n-3)=\frac{(n-2)(n-3)}{2}$ である。

次に $j=n$ の場合を考える。このとき最後のB勝ちの直後に試合はないので、B勝ちの直後にA勝ちが必要なのは $i$ 試合目の後だけである。したがって各配置の確率は $(1-p{)}^{2}q{p}^{n-3}$ である。また $i\leqq n-2$ だから、このような $i$ は $n-2$ 通りである。

以上より $b_n=\frac{(n-2)(n-3)}{2}(1-p{)}^2{q}^2{p}^{n-4}+(n-2)(1-p{)}^{2}q{p}^{n-3}$ である。$n=3$ のときも第1項は係数 $n-3=0$ により消え、B勝ちの位置が $(1,3)$ の場合だけを表している。