大阪大学 2018年度
理系数学 第1問

解答

(1)

$F(x)=\log (1+x)-x+\frac{x^2}{2}$ とおく。$x>0$ で $F^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x}-1+x=\frac{x^2}{1+x}>0$ であり、$F(0)=0$ だから $F(x)>0$ である。よって $x-\frac{x^2}{2}<\log (1+x)$ が成り立つ。

次に $G(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x}}-\log (1+x)$ とおく。$x>0$ で $G^{\prime }(x)=\frac{1+\frac{x}{2}-\sqrt{1+x}}{(1+x{)}^{3/2}}$ である。ここで $1+x/2>0$ であり、${\left(1+\frac{x}{2}\right)}^2-(1+x)=\frac{x^2}{4}>0$ だから $1+x/2>\sqrt{1+x}$ である。したがって $G^{\prime }(x)>0$、また $G(0)=0$ より $G(x)>0$ である。ゆえに $\log (1+x)<\frac{x}{\sqrt{1+x}}$ が成り立つ。

(2)

$x>0$ では $\log (1+x)<x$ だから、分母が正であることに注意して $\frac{1}{\log (1+x)}-\frac{1}{x}>0$ である。

上からの評価を作るため、$H(x)=\log (1+x)-\frac{2x}{x+2}$ とおく。すると $H^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{4}{(x+2{)}^2}=\frac{x^2}{(1+x)(x+2{)}^2}>0$ であり、$H(0)=0$ だから $\log (1+x)>\frac{2x}{x+2}$ である。よって $\frac{1}{\log (1+x)}<\frac{x+2}{2x}$ となり、$\frac{1}{\log (1+x)}-\frac{1}{x}<\frac{x+2}{2x}-\frac{1}{x}=\frac{1}{2}$ を得る。したがって常に $0<y<\frac{1}{2}$ である。

端の値を確認する。$x\to 0+$ では、(1) の左側の不等式と $\log (1+x)<x$ から $1-\frac{x}{2}<\frac{\log (1+x)}{x}<1$ なので $\log (1+x)/x\to 1$ である。また $x-\log (1+x)={\int }_0^x\frac{u}{1+u}du$ であり、$0\leqq u\leqq x$ で $1/(1+x)\leqq 1/(1+u)\leqq 1$ だから $\frac{x^2}{2(1+x)}\leqq x-\log (1+x)\leqq \frac{x^2}{2}$ である。したがって $\frac{1}{\log (1+x)}-\frac{1}{x}=\frac{x-\log (1+x)}{x\log (1+x)}\to \frac{1}{2}$ である。

一方、$x\to \infty$ では $\log (1+x)\to \infty$ かつ $x\to \infty$ なので $\frac{1}{\log (1+x)}-\frac{1}{x}\to 0$ である。関数 $y$ は $x>0$ で連続であり、上の2つの極限により $0$ と $1/2$ にいくらでも近い値をとる。したがって値域は $0<y<\frac{1}{2}$ である。