大阪大学 2018年度理系数学第3問解答・解説

問題

2つの関数

f (t) = 2 sin t + cos 2 t, g (t) = 2 cos t + sin 2 t

を用いて定義される座標平面上の曲線

C : x = f (t), y = g (t) (0 ≦ t ≦ \frac{π}{2})

を考える．

(1) $t$ が $0 ≦ t ≦ \frac{π}{2}$ の範囲を動くとき， $f (t)$ および $g (t)$ の最大値を求めよ．

(2) $t_{1}$ ， $t_{2}$ を $0 ≦ t_{1} < t_{2} ≦ \frac{π}{2}$ かつ $f (t_{1}) = f (t_{2})$ を満たす実数とする．このとき， $g (t_{1})^{2} - g (t_{2})^{2} > 0$ が成り立つことを示せ．

(3) $C$ と直線 $x = 1$ が囲む領域の面積 $S$ を求めよ．

出典：大阪大学 2018年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

(1) は $f^{'} (t)$ 、 $g^{'} (t)$ の符号変化を端点も含めて調べる。(2) は $s = sin t$ と置き、 $f (t_{1}) = f (t_{2})$ から $s_{1} + s_{2} = 1$ を得て、 $g (t)^{2}$ を $s$ の式に直す。(3) は (2) により同じ $x$ に対する上下関係を確認したうえで、直線 $x = 1$ から曲線までの面積を $- \int (f (t) - 1) g^{'} (t) d t$ として計算する。

解答

(1)

$f^{'} (t) = 2 cos t - 2 sin 2 t = 2 cos t (1 - 2 sin t)$ である。 $0 ≦ t ≦ π /2$ では $cos t ≧ 0$ なので、 $f^{'} (t)$ の符号は $1 - 2 sin t$ で決まる。したがって $t = π /6$ で増加から減少に変わる。端点も比べると

f (0) = 1, f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2}, f (\frac{π}{2}) = 1

であるから、 $f (t)$ の最大値は $\frac{3}{2}$ である。

また $g^{'} (t) = - 2 sin t + 2 cos 2 t = 2 (1 + sin t) (1 - 2 sin t)$ である。 $1 + sin t > 0$ より、 $g^{'} (t)$ も $t = π /6$ で増加から減少に変わる。端点と合わせて

g (0) = 2, g (\frac{π}{6}) = \frac{3 3}{2}, g (\frac{π}{2}) = 0

だから、 $g (t)$ の最大値は $\frac{3 3}{2}$ である。

(2)

$s = sin t$ とおく。 $0 ≦ t ≦ π /2$ では $s$ は単調に増加するので、 $t_{1} < t_{2}$ なら $s_{1} = sin t_{1} < s_{2} = sin t_{2}$ である。また $f (t) = 2 sin t + cos 2 t = 2 s + 1 - 2 s^{2}$ だから、 $f (t_{1}) = f (t_{2})$ より $2 (s_{1} - s_{2}) - 2 (s_{1}^{2} - s_{2}^{2}) = 2 (s_{1} - s_{2}) (1 - s_{1} - s_{2}) = 0$ である。 $s_{1} \neq = s_{2}$ なので $s_{1} + s_{2} = 1$ を得る。

一方、 $g (t) = 2 cos t + sin 2 t = 2 cos t (1 + sin t)$ であるから、 $g (t)^{2} = 4 (1 - s^{2}) (1 + s)^{2} = 4 (1 - s) (1 + s)^{3}$ である。 $s_{2} = 1 - s_{1}$ かつ $s_{1} < s_{2}$ より $s_{1} < 1/2$ である。そこで計算すると $g (t_{1})^{2} - g (t_{2})^{2} = 4 (1 - s_{1}) (1 + s_{1})^{3} - 4 s_{1} (2 - s_{1})^{3} = - 4 (2 s_{1} - 1)^{3}$ となる。 $2 s_{1} - 1 < 0$ だから $g (t_{1})^{2} - g (t_{2})^{2} > 0$ である。

(3)

$t = 0$ と $t = π /2$ で $f (t) = 1$ となるので、曲線 $C$ は直線 $x = 1$ と2点 $(1, 2)$ 、 $(1, 0)$ で交わる。(2) より、同じ $x$ に対して小さい $t$ の点が上側、大きい $t$ の点が下側にある。したがって囲まれる部分の面積は $S = - \int_{0}^{\frac{π}{2}} {f (t) - 1} g^{'} (t) d t$ で与えられる。

ここで $f (t) - 1 = 2 sin t (1 - sin t), g^{'} (t) = - 2 sin t + 2 cos 2 t$ であるから、 $- {f (t) - 1} g^{'} (t) = - 8 sin^{4} t + 4 sin^{3} t + 8 sin^{2} t - 4 sin t$ となる。さらに

\int_{0}^{\frac{π}{2}} sin t d t = 1, \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{2} t d t = \frac{π}{4}, \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{3} t d t = \frac{2}{3}, \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{4} t d t = \frac{3 π}{16}

だから、

S = - 8 \cdot \frac{3 π}{16} + 4 \cdot \frac{2}{3} + 8 \cdot \frac{π}{4} - 4 = \frac{π}{2} - \frac{4}{3}

である。

大阪大学 2018年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

大阪大学 2018年度
理系数学第3問