問題
，を正の実数とし，とする．
(1) を実数とし，がで割り切れるとする．このとき，であり，はで割り切れることを示せ．
(2) がある実数，，，を用いて
と因数分解できるとき，が成り立つことを示せ．
(3) とする．がある実数，，，を用いて
と因数分解できるような自然数の値をすべて求めよ．
方針
相反多項式なので、 が根なら も根になる。まず を で割り、負の実根があり得ないことを示す。全実根の場合は4根がすべて正で積が になるため、相加平均・相乗平均から が出る。 では根を逆数の2組に分け、各組の和を として 、 を調べる。別解として による二次方程式への変換も有効である。
解答
(1)
だから である。 を で割ると を得る。もし なら であるから、 となる。また 、 なので、左辺は正になり にはならない。よって実根 は負ではなく、 と合わせて である。
次に相反性を使う。直接計算すると である。 だから であり、 は で割り切れる。
(2)
仮定より は4つの実数根をもつ。(1) からそれらはすべて正である。根を とすると、解と係数の関係より である。したがって相加平均・相乗平均より となる。
(3)
とする。(1) より根は逆数同士で組になるので、4つの根を と書ける。ここで とおくと、、 より である。また と表せるので、係数を比較して を得る。 かつ だから、一方が 以上 以下に動く。積は端で最小、等しいとき最大となり、 である。よって となる。 は自然数なので、可能性は しかない。
実際に のとき、 である。 は実根 を重根にもつ。また は判別式が で実根をもつ。したがって条件を満たす。求める自然数は である。
別解。 として を で割り、 とおくと となる。 のときは である。正の実数 に対応する は であり、逆に なら は実数解をもつ。したがって、この二次方程式の2つの解 がともに 以上であればよい。すると であり、上と同じく から だけが残る。