問題
，を自然数とし，不等式
を考える．次の問いに答えよ．ただし，であること，が無理数であることを用いてよい．
(1) 不等式(A)を満たしである自然数，に対して
であることを示せ．
(2) 不等式(A)を満たす自然数，の組のうち，であるものをすべて求めよ．
出典：大阪大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第3問
方針
(A)を直接満たす分数を探すのではなく，という整数に変換して候補を絞る。(1)でを6未満に押さえ，(2)ではを得る。が無理数であるため左辺は0でない整数となり，だけを調べればよい。最後に候補が元の(A)を満たすことを必ず確認する。
解答
(1)
(A)とより である。したがって である。与えられたを用いると である。または自然数なのでである。よって が成り立つ。
(2)
は無理数なので，整数は0ではない。したがっては正の整数である。
(1)を用いると
である。よって であるから，でなければならない。より，調べるべきものは だけである。 のとき である。つまり であるが，この範囲に平方数はない。 のとき である。したがって であり，この範囲にある平方数はだけである。よって を得る。
最後にが(A)を満たすことを確認する。
である。より だから
である。したがって求める組は である。