大阪大学 2017年度
理系数学 第2問

解答

実部と虚部がともに正である5乗根は $z=\cos \frac{2\pi }{5}+i\sin \frac{2\pi }{5}$ である。よって$z\ne 1$であり，$1,z,z^2,z^3,z^4$は正五角形の5つの頂点を表す。

(1)

$z^5=1$，$z\ne 1$より $1+z+z^2+z^3+z^4=\frac{z^5-1}{z-1}=0$ である。5回とも表なら$a_0=a_1=a_2=a_3=a_4=1$なので $w=1+z+z^2+z^3+z^4=0$ である。

(2)

このとき $w=z+z^4$ である。$z^4$は$z$の共役なので $z+z^4=2\cos \frac{2\pi }{5}$ である。$\frac{\pi }{3}<\frac{2\pi }{5}<\frac{\pi }{2}$であり，$0<\cos \frac{2\pi }{5}<\frac{1}{2}$だから $|w|=2\cos \frac{2\pi }{5}<1$ である。

(3)

各$a_k$は0または1であり，これは5つの頂点$1,z,z^2,z^3,z^4$からいくつかを選ぶことに対応する。全事象は $2^5=32$ 通りで，すべて等確率である。

選ぶ個数ごとに調べる。0個を選ぶと$w=0$，5個を選ぶと(1)より$w=0$であるから，どちらも条件を満たす。

1個だけ選ぶと$|w|=1$であり，条件$|w|<1$を満たさない。4個選ぶ場合は，選ばれなかった1個の頂点を$\alpha$とすると，5頂点の和が0であることから$w=-\alpha$であり，やはり$|w|=1$で条件を満たさない。

2個選ぶ場合を考える。2つの頂点が隣り合うとき，中心角は$\frac{2\pi }{5}$なので和の大きさは $2\cos \frac{\pi }{5}>1$ である。2つの頂点が隣り合わないとき，中心角は$\frac{4\pi }{5}$なので和の大きさは $2\cos \frac{2\pi }{5}<1$ である。正五角形で隣り合わない2点の選び方は5通りである。

3個選ぶ場合は，選ばれなかった2個の頂点の和を$u$とすると，5頂点全体の和が0であるから$w=-u$である。したがって$|w|<1$となるのは，選ばれなかった2点が隣り合わない場合であり，これも5通りである。

以上より，条件を満たす場合の数は $1+1+5+5=12$ である。したがって求める確率は $\frac{12}{32}=\frac{3}{8}$ である。