問題
双曲線上の3点，， を考える．
(1) 点におけるの接線と直線の交点をとするとき，の座標をとを用いてあらわせ．
(2) 点におけるの接線と直線の交点をとするとき，の座標をとを用いてあらわせ．
(3) 点におけるの接線と直線の交点をとするとき，3点，，は一直線上にあることを証明せよ．
出典：大阪大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第1問
方針
双曲線の点における接線をとして使い，それぞれの接線を求める。は双曲線上でなのでであり，交点計算の分母は0にならない。最後はを結ぶ直線の式にの座標を代入し，になることを直接確認して一直線性を示す。
解答
双曲線の点における接線は である。実際，はを満たし，この直線はその点を通る接線になっている。なおについてはかつであるから，である。
(1)
点における接線は すなわちである。直線はとを通るので である。ここにを代入して を得る。したがって である。
(2)
点における接線は である。直線はだから，交点は を満たす。よって である。
(3)
点における接線は である。直線はとを通るので である。したがってを代入して を得る。
直線の傾きは
である。したがって直線は と書ける。この式にを代入すると
である。これはが直線上にあることを示している。よって3点は一直線上にある。