大阪大学 2015年度理系数学第4問解答・解説

問題

座標空間の $x$ 軸上に動点 $P$ ， $Q$ がある． $P$ ， $Q$ は時刻0において，原点を出発する． $P$ は $x$ 軸の正の方向に， $Q$ は $x$ 軸の負の方向に，ともに速さ1で動く．その後，ともに時刻1で停止する．点 $P$ ， $Q$ を中心とする半径1の球をそれぞれ $A$ ， $B$ とし，空間で $x ≧ - 1$ の部分を $C$ とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1) 時刻 $t$ $(0 ≦ t ≦ 1)$ における立体 $(A \cup B) \cap C$ の体積 $V (t)$ を求めよ．

(2) $V (t)$ の最大値を求めよ．

出典：大阪大学 2015年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

時刻 $t$ で2球の中心は $(t, 0, 0)$ , $(- t, 0, 0)$ である。球 $A$ は半空間 $C : x ≧ - 1$ に全て含まれ、球 $B$ は左端の高さ $t$ の球冠だけが $C$ からはみ出す。さらに2球の共通部分は、中心間距離 $2 t$ から高さ $1 - t$ の球冠2つ分であり、これはすべて $C$ 内にある。包除原理で $V (t)$ を出し、微分で最大値を求める。別解として、 $x$ 一定の断面が同心円盤の和になることから、1変数積分で同じ体積を直接求める。

解答

(1)

時刻 $t$ において、球 $A$ の中心は $(t, 0, 0)$ であり、球 $B$ の中心は $(- t, 0, 0)$ である。ただし $0 ≦ t ≦ 1$ である。

まず球 $A$ について考える。球 $A$ の最も左の点の $x$ 座標は $t - 1 ≧ - 1$ であるから、球 $A$ はすべて $C : x ≧ - 1$ に含まれる。したがって $vol (A \cap C) = \frac{4 π}{3}$ である。

次に球 $B$ を考える。球 $B$ の中心は $(- t, 0, 0)$ で、平面 $x = - 1$ は中心から左へ $1 - t$ だけ離れている。したがって $C$ からはみ出す部分は、球の左端から平面 $x = - 1$ までの高さ $t$ の球冠である。半径1の球で高さ $h$ の球冠の体積は $π h^{2} (1 - \frac{h}{3})$ であるから、 $vol (B \cap C) = \frac{4 π}{3} - π t^{2} (1 - \frac{t}{3})$ である。

次に $A \cap B$ の体積を求める。2つの球の中心間距離は $2 t$ である。2球は同じ半径1なので、共通部分は、各球から見て高さ $1 - t$ の球冠2つ分である。したがって $vol (A \cap B) = 2 π (1 - t)^{2} (1 - \frac{1 - t}{3})$ である。また $A \cap B$ は球 $A$ に含まれ、球 $A \subset C$ であるから、 $A \cap B$ はすべて $C$ 内にある。

よって包除原理により

V (t) = vol (A \cap C) + vol (B \cap C) - vol (A \cap B) = \frac{4 π}{3} + {\frac{4 π}{3} - π t^{2} (1 - \frac{t}{3})} - 2 π (1 - t)^{2} (1 - \frac{1 - t}{3})

である。整理すると

V (t) = π {\frac{8}{3} - t^{2} + \frac{t ^{3}}{3} - \frac{2}{3} (1 - t)^{2} (2 + t)} = π (\frac{4}{3} + 2 t - t^{2} - \frac{t ^{3}}{3}) = \frac{π}{3} (- t^{3} - 3 t^{2} + 6 t + 4)

である。

(2)

(1)より $V (t) = \frac{π}{3} (- t^{3} - 3 t^{2} + 6 t + 4)$ である。微分すると $V^{'} (t) = \frac{π}{3} (- 3 t^{2} - 6 t + 6) = π (- t^{2} - 2 t + 2)$ である。したがって $V^{'} (t) = 0$ は $t^{2} + 2 t - 2 = 0$ と同値であり、 $t = - 1 \pm 3$ を得る。 $0 ≦ t ≦ 1$ に入るのは $t = 3 - 1$ だけである。

また $V^{'} (0) = 2 π > 0, V^{'} (1) = - π < 0$ であり、 $V^{'} (t)$ は $t = 3 - 1$ で正から負に変わる。よって最大はこのときである。 $t = 3 - 1$ を代入する。 $(3 - 1)^{2} = 4 - 23$ 、 $(3 - 1)^{3} = 63 - 10$ であるから、

V (3 - 1) = \frac{π}{3} {- (63 - 10) - 3 (4 - 23) + 6 (3 - 1) + 4} = \frac{π}{3} (63 - 4) = \frac{2 π ( 3 3 - 2 )}{3}

である。

別解。 $x$ 座標で断面を切って直接体積を求めてもよい。固定した $x$ における球の断面は、 $y z$ 平面内の中心が同じ円盤になる。したがって和集合の断面積は、2つの円盤のうち半径の大きい方の面積である。 $x ≦ 0$ では球 $B$ の断面半径の方が大きく、 $x ≧ 0$ では球 $A$ の断面半径の方が大きい。よって

V (t) = π \int_{- 1}^{0} {1 - (x + t)^{2}} d x + π \int_{0}^{t + 1} {1 - (x - t)^{2}} d x = π (\frac{2}{3} + t - t^{2}) + π (\frac{2}{3} + t - \frac{t ^{3}}{3}) = π (\frac{4}{3} + 2 t - t^{2} - \frac{t ^{3}}{3})

となり、同じ $V (t)$ が得られる。

大阪大学 2015年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

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理系数学第4問