大阪大学 2015年度理系数学第1問解答・解説

問題

自然数 $n$ に対して関数 $f_{n} (x)$ を

f_{n} (x) = \frac{x}{n ( 1 + x )} lo g (1 + \frac{x}{n}) (x ≧ 0)

で定める．以下の問いに答えよ．

(1) $\int_{0}^{n} f_{n} (x) d x ≦ \int_{0}^{1} lo g (1 + x) d x$ を示せ．

(2) 数列 ${I_{n}}$ を

I_{n} = \int_{0}^{n} f_{n} (x) d x

で定める． $0 ≦ x ≦ 1$ のとき $lo g (1 + x) ≦ lo g 2$ であることを用いて数列 ${I_{n}}$ が収束することを示し，その極限値を求めよ．ただし， $x \to \infty lim \frac{lo g x}{x} = 0$ であることは用いてよい．

出典：大阪大学 2015年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

積分区間が $[0, n]$ のままでは $n$ に依存して扱いにくいので、 $x = n u$ と置いて区間を $[0, 1]$ に固定する。すると $I_{n}$ は $\frac{n u}{1 + n u} lo g (1 + u)$ の積分になる。(1) は係数 $\frac{n u}{1 + n u} ≦ 1$ から従う。(2) は固定された極限候補 $\int_{0}^{1} lo g (1 + u) d u$ との差を $\int_{0}^{1} \frac{l o g ( 1 + u )}{1 + n u} d u$ と表し、問題文の $lo g (1 + u) ≦ lo g 2$ と $lo g x / x \to 0$ で挟み込む。

解答

(1)

$x = n u$ とおくと、 $x = 0$ のとき $u = 0$ 、 $x = n$ のとき $u = 1$ 、また $d x = n d u$ である。したがって

\int_{0}^{n} f_{n} (x) d x = \int_{0}^{1} \frac{n u}{n ( 1 + n u )} lo g (1 + u) n d u = \int_{0}^{1} \frac{n u}{1 + n u} lo g (1 + u) d u

である。 $0 ≦ u ≦ 1$ では $0 ≦ \frac{n u}{1 + n u} ≦ 1$ であり、また $lo g (1 + u) ≧ 0$ である。よって $\frac{n u}{1 + n u} lo g (1 + u) ≦ lo g (1 + u)$ である。両辺を $0 ≦ u ≦ 1$ で積分して $\int_{0}^{n} f_{n} (x) d x ≦ \int_{0}^{1} lo g (1 + x) d x$ を得る。最後の積分変数は名前を $u$ から $x$ に戻しただけである。

(2)

(1)の置換表示より $I_{n} = \int_{0}^{1} \frac{n u}{1 + n u} lo g (1 + u) d u$ である。したがって

\int_{0}^{1} lo g (1 + u) d u - I_{n} = \int_{0}^{1} (1 - \frac{n u}{1 + n u}) lo g (1 + u) d u = \int_{0}^{1} \frac{lo g ( 1 + u )}{1 + n u} d u

である。右辺は非負である。

問題文の指示通り、 $0 ≦ u ≦ 1$ で $lo g (1 + u) ≦ lo g 2$ を用いると

0 ≦ \int_{0}^{1} \frac{lo g ( 1 + u )}{1 + n u} d u ≦ lo g 2 \int_{0}^{1} \frac{d u}{1 + n u}

である。右端を計算すると

\int_{0}^{1} \frac{d u}{1 + n u} = [\frac{1}{n} lo g (1 + n u)]_{0}^{1} = \frac{1}{n} lo g (n + 1)

であるから、 $0 ≦ \int_{0}^{1} lo g (1 + u) d u - I_{n} ≦ \frac{l o g 2}{n} lo g (n + 1)$ である。

ここで $\frac{l o g ( n + 1 )}{n} = \frac{n + 1}{n} \cdot \frac{l o g ( n + 1 )}{n + 1}$ であり、問題文で与えられた $lim_{x \to \infty} \frac{l o g x}{x} = 0$ から $\frac{l o g ( n + 1 )}{n} \to 0$ である。よってはさみうちにより $\int_{0}^{1} lo g (1 + u) d u - I_{n} \to 0$ である。したがって $I_{n}$ は収束し、 $lim_{n \to \infty} I_{n} = \int_{0}^{1} lo g (1 + u) d u$ である。

最後にこの積分を計算する。 $v = 1 + u$ とおくと $\int_{0}^{1} lo g (1 + u) d u = \int_{1}^{2} lo g v d v$ である。部分積分より $\int lo g v d v = v lo g v - v$ だから $\int_{1}^{2} lo g v d v = (2 lo g 2 - 2) - (1 \cdot 0 - 1) = 2 lo g 2 - 1$ である。ゆえに $n \to \infty lim I_{n} = 2 lo g 2 - 1$ である。

大阪大学 2015年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 2015年度
理系数学第1問