大阪大学 2015年度理系数学第3問解答・解説

問題

以下の問いに答えよ．

(1) $2$ と $33$ が無理数であることを示せ．

(2) $p, q, 2 p + 33 q$ がすべて有理数であるとする．そのとき， $p = q = 0$ であることを示せ．

出典：大阪大学 2015年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

(1) は有理数と仮定して既約分数で表し、平方・立方の割り切りから分子分母が同時に割り切れる矛盾を出す。(2) は $r = 2 p + 33 q$ と置き、 $q \neq = 0$ なら $33 = A + B 2$ と書けることを利用する。これを3乗して有理部分と $2$ の部分に分け、 $2$ の無理性から係数が $0$ になることを示す。最後に $q = 0$ 後の $p$ も $2$ の無理性で排除する。

解答

(1)

まず $2$ が有理数であると仮定する。このとき互いに素な正の整数 $m, n$ を用いて $2 = \frac{m}{n}$ と書ける。両辺を2乗して $m^{2} = 2 n^{2}$ を得る。よって $m^{2}$ は偶数であり、したがって $m$ も偶数である。 $m = 2 r$ とおくと $4 r^{2} = 2 n^{2}, n^{2} = 2 r^{2}$ となるので、同様に $n$ も偶数である。これは $m, n$ が互いに素であることに反する。したがって $2$ は無理数である。

次に $33$ が有理数であると仮定する。このとき互いに素な正の整数 $m, n$ を用いて $33 = \frac{m}{n}$ と書ける。両辺を3乗して $m^{3} = 3 n^{3}$ を得る。よって $m^{3}$ は $3$ で割り切れるので、 $m$ も $3$ で割り切れる。 $m = 3 r$ とおくと $27 r^{3} = 3 n^{3}, n^{3} = 9 r^{3}$ となる。したがって $n^{3}$ も $3$ で割り切れ、 $n$ も $3$ で割り切れる。これは $m, n$ が互いに素であることに反する。したがって $33$ は無理数である。

(2)

$r = 2 p + 33 q$ とおく。仮定より $p, q, r$ はすべて有理数である。

まず $q \neq = 0$ と仮定して矛盾を導く。このとき $33 = \frac{r - 2 p}{q} = \frac{r}{q} - \frac{p}{q} 2$ である。したがって、有理数 $A, B$ を用いて $33 = A + B 2$ と書ける。

両辺を3乗する。左辺の3乗は $3$ であり、右辺は

(A + B 2)^{3} = A^{3} + 3 A^{2} B 2 + 3 A (B 2)^{2} + (B 2)^{3} = A^{3} + 6 A B^{2} + (3 A^{2} B + 2 B^{3}) 2

である。よって $3 = A^{3} + 6 A B^{2} + (3 A^{2} B + 2 B^{3}) 2$ となる。

もし $3 A^{2} B + 2 B^{3} \neq = 0$ なら、上の等式から $2$ が有理数として表されてしまい、(1)に反する。したがって $3 A^{2} B + 2 B^{3} = 0$ でなければならない。これは $B (3 A^{2} + 2 B^{2}) = 0$ である。 $3 A^{2} + 2 B^{2} ≧ 0$ であり、これが $0$ になるのは $A = B = 0$ のときだけであるから、結局 $B = 0$ である。すると $33 = A$ となり、 $33$ が有理数になってしまう。これは(1)に反する。

よって $q \neq = 0$ は不可能であり、 $q = 0$ である。このとき $r = 2 p$ である。もし $p \neq = 0$ なら $2 = \frac{r}{p}$ となって $2$ が有理数になり、(1)に反する。したがって $p = 0$ である。

以上より $p = q = 0$ が示された。

大阪大学 2015年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 2015年度
理系数学第3問