問題
空間内の3点，，を頂点とする三角形を軸のまわりに1回転させてできる円すいをとする．円すいを軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ．
出典：大阪大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問
方針
最初にできる円すい を不等式で表す。三角形 の回転により、、 で表される。これを 軸のまわりに回した後の立体は、 を固定した水平断面で見るのがよい。固定した に対し、 軸からの距離 の最小値と最大値を求めると断面は円環になり、その面積を から1まで積分する。
解答
三角形 は 平面上にあり、 の範囲で を満たす部分である。これを 軸のまわりに1回転させると、円すい は と表される。
この円すい をさらに 軸のまわりに回転してできる立体を考える。 を固定した断面を調べる。もとの円すいに点が存在するためには でなければならないので、 の範囲だけを考えればよい。 軸からの距離を とする。固定した に対して、もとの円すいでは である。したがって であり、これは 、 のとき最大となる。よって外側半径は である。
一方、 の最小値は 、 のときに得られ、内側半径は である。したがって、回転後の に垂直な断面は、内半径 、外半径 の円環である。
よって断面積 は である。求める体積 は であり、
である。