大阪大学 2013年度
理系数学 第3問

解答

条件を満たす正の整数 $n$ が存在すると仮定して、矛盾を導く。

まず $n$ が奇数であるとする。このとき $n+1$ は偶数であり、しかも $n$ は正の整数なので $n+1\geqq 2$ である。$n=1$ のときは $n^3+3=4$ で素数でない。$n\geqq 3$ のときは $n+1\geqq 4$ で、2より大きい偶数だから素数でない。したがって条件を満たすなら、$n$ は偶数でなければならない。

以下、$n$ は偶数として、$n$ を3で割った余りで場合分けする。 $n\equiv 0(\mathrm{mod}3)$ のとき、$n^3+3\equiv 0+0\equiv 0(\mathrm{mod}3)$ である。また $n$ は正の偶数なので $n\geqq 2$ であり、$n^3+3\geqq 11>3$ である。よって $n^3+3$ は3で割り切れる3より大きい整数なので、素数でない。 $n\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ のとき、$n^5+5\equiv 1^5+2\equiv 0(\mathrm{mod}3)$ である。また $n^5+5>3$ だから、$n^5+5$ は素数でない。 $n\equiv 2(\mathrm{mod}3)$ のとき、$2\equiv -1(\mathrm{mod}3)$ であり、7は奇数なので $n^7+7\equiv 2^7+1\equiv 2+1\equiv 0(\mathrm{mod}3)$ である。また $n^7+7>3$ だから、$n^7+7$ は素数でない。

以上のどの場合でも、4個の整数のうち少なくとも1個は素数でない。これは4個すべてが素数であるという仮定に反する。したがって、そのような正の整数 $n$ は存在しない。