大阪大学 2013年度
理系数学 第1問

解答

まず ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ を示す。 $0<x<\pi /2$ とする。単位円で、中心角 $x$ の扇形と内側・外側の直角三角形の面積を比べると $\frac{1}{2}\sin x<\frac{1}{2}x<\frac{1}{2}\tan x$ である。したがって $\sin x<x<\tan x$ が成り立つ。各辺を正の数 $\sin x$ と $x$ に注意して整理すると $\cos x<\frac{\sin x}{x}<1$ である。 $x\to +0$ とすると $\cos x\to 1$ であるから、はさみうちの原理より ${\lim }_{x\to +0}\frac{\sin x}{x}=1$ である。また $\sin x/x$ は偶関数である。実際、$\frac{\sin (-x)}{-x}=\frac{\sin x}{x}$ であるから、左側からの極限も1である。よって ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ が示された。

次に $\sin x$ の導関数を求める。加法定理より $\sin (x+h)-\sin x=\sin x(\cos h-1)+\cos x\sin h$ である。したがって差商は

である。

ここで $\frac{\cos h-1}{h}=-\frac{1-\cos h}{h}=-\frac{{\sin }^{2}h}{h(1+\cos h)}$ であり、

である。$h\to 0$ のとき、$\sin h/h\to 1$、$\sin h\to 0$、$1+\cos h\to 2$ だから $\frac{\cos h-1}{h}\to 0$ である。

以上より

である。したがって $\sin x$ の導関数は $\cos x$ である。