問題
不等式
の表す領域を平面上に図示せよ．
出典：大阪大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第2問
方針
絶対値が二重に現れるので、まず と置き、第一象限 の図形を描く。条件は点 からの斜め距離 が1以上3以下という意味であり、外側のひし形 の内側から、内側のひし形 を除く。最後に 軸・ 軸対称に反射したものが求める領域である。
解答
とおく。このとき であり、与えられた不等式は となる。したがって、まず 平面の第一象限でこの領域を考えればよい。 は中心 のひし形である。第一象限内で見ると、その境界は座標軸で切られ、頂点は となる。したがって は、この六角形の内部および周上である。
一方、 は、中心 の小さいひし形の内部であり、その境界の頂点は である。元の条件は なので、この小さいひし形の内部は除き、境界は含める。
よって第一象限では、頂点 をもつ六角形の内部および周上から、頂点 をもつひし形の内部だけを除いた部分である。
最後に、 と置いたので、この第一象限の図形を 軸および 軸に関して対称に移したものをすべて合わせる。これが求める領域である。境界 はいずれも含まれる。