大阪大学 2012年度後期・理系数学後期第4問解答・解説

問題

$a$ を1以上の実数とする。 $x$ についての方程式

(4 x^{3} - 1) (x - a) - 3 a^{2} + 1 = 0

の最大の実数解を $s (a)$ とし、 $s (a)$ の小数部分を $r (a)$ とする。すなわち、 $s (a)$ 以下の最大の整数を $[s (a)]$ とするとき、 $r (a) = s (a) - [s (a)]$ によって $r (a)$ を定める。

(1) $a < s (a) < a + 1$ を示せ。

(2) 自然数 $n$ に対し $b_{n} = s (n) r (n)$ とおく。 $n \to \infty lim b_{n}$ を求めよ。

(3) 次の条件(P)を満たす実数 $c$ の範囲を求めよ。

(P) すべての自然数 $n$ に対して $s (n) r (n) < c$ が成り立つ。

出典：大阪大学 2012年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第4問

方針

方程式の左辺を $F_{a} (x)$ とする。 $x > a$ では $(4 x^{3} - 1) (x - a)$ が狭義増加するため、端点 $a, a + 1$ での符号から最大解の位置と一意性を同時に示せる。自然数 $n$ では (1) により $r (n) = s (n) - n$ 。方程式を $b_{n} = s (n) {s (n) - n}$ の形に直して極限を求める。(3)は、 $x - n = 3/ (4 x)$ となる比較点を置き、実際の解がその点より小さいことから $b_{n} < 3/4$ を示す。

解答

(1)

F_{a} (x) = (4 x^{3} - 1) (x - a) - 3 a^{2} + 1

とおく。 $x > a ≧ 1$ では $4 x^{3} - 1 > 0$ であり、 $4 x^{3} - 1$ と $x - a$ はともに正で狭義増加するから、その積も狭義増加する。したがって $F_{a} (x)$ は $x > a$ で狭義増加する。

また

F_{a} (a) = 1 - 3 a^{2} < 0

であり、

F_{a} (a + 1) = 4 (a + 1)^{3} - 3 a^{2} = 4 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 4 > 0

である。よって $a < x < a + 1$ にただ1つの解があり、 $x ≧ a + 1$ には解がない。この解より大きい実数解は存在しないので

a < s (a) < a + 1

である。

(2)

(1)で $a = n$ とすると $n < s (n) < n + 1$ だから、 $[s (n)] = n$ 、 $r (n) = s (n) - n$ である。方程式より

(4 s (n)^{3} - 1) {s (n) - n} = 3 n^{2} - 1.

したがって

b_{n} = s (n) {s (n) - n} = \frac{3 n ^{2} - 1}{4 s ( n ) ^{2} - 1/ s ( n )} .

(1)より $1 < s (n) / n < 1 + 1/ n$ であるから $s (n) / n \to 1$ である。分子・分母を $n^{2}$ で割れば

n \to \infty lim b_{n} = \frac{3}{4} .

(3)

各自然数 $n$ に対し、 $x > n$ で

x - n = \frac{3}{4 x}

を満たす点を $x_{n}$ とする。この点では $x_{n} (x_{n} - n) = 3/4$ である。また

F_{n} (x_{n}) = (4 x_{n}^{3} - 1) \frac{3}{4 x _{n}} - 3 n^{2} + 1 = 3 (x_{n}^{2} - n^{2}) + 1 - \frac{3}{4 x _{n}} .

ここで $x_{n} - n = 3/ (4 x_{n})$ より

x_{n}^{2} - n^{2} = (x_{n} - n) (x_{n} + n) = \frac{3}{4} (1 + \frac{n}{x _{n}}) .

したがって

F_{n} (x_{n}) = \frac{9}{4} (1 + \frac{n}{x _{n}}) + 1 - \frac{3}{4 x _{n}} > 0.

一方 $F_{n} (s (n)) = 0$ であり、(1)で示したように $F_{n}$ は $x > n$ で狭義増加するから $s (n) < x_{n}$ である。関数 $x (x - n)$ も $x > n$ で狭義増加するので

b_{n} = s (n) {s (n) - n} < x_{n} (x_{n} - n) = \frac{3}{4} .

よって $c = 3/4$ なら条件(P)は成り立ち、 $c > 3/4$ でも成り立つ。反対に $c < 3/4$ なら、(2)の $b_{n} \to 3/4$ より十分大きい $n$ で $b_{n} > c$ となる。したがって求める範囲は

c ≧ \frac{3}{4}

である。

大阪大学 2012年度後期・理系数学 後期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

大阪大学 2012年度
後期・理系数学後期第4問