大阪大学 2012年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

数列 ${a_{n}}$ を

a_{1} = 1, a_{n + 1} = \frac{n a _{n}}{2 + n ( a _{n} + 1 )} (n = 1, 2, 3, \dots)

によって定める。

(1) $a_{2}, a_{3}, a_{4}$ を求めよ。

(2) 一般項 $a_{n}$ を $n$ を用いて表せ。

(3) $m \to \infty lim m n = m + 1 \sum 2 m a_{n}$ を求めよ。

出典：大阪大学 2012年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

まず数項を計算して $a_{n} = 1/ n^{2}$ を予想する。漸化式への代入による数学的帰納法で一般項を確定し、最後は $m / n^{2} = (1/ m) {1/ (n / m)^{2}}$ と変形して区分求積法へつなぐ。和の添字が $m + 1$ から $2 m$ までであることを確認し、積分区間を $[1, 2]$ とする。

解答

(1)

$a_{1} = 1$ を漸化式に代入すると

a_{2} = \frac{1}{2 + ( 1 + 1 )} = \frac{1}{4} .

さらに

a_{3} = \frac{2 \cdot \frac{1}{4}}{2 + 2 ( \frac{1}{4} + 1 )} = \frac{1}{9}, a_{4} = \frac{3 \cdot \frac{1}{9}}{2 + 3 ( \frac{1}{9} + 1 )} = \frac{1}{16} .

したがって $a_{2} = 1/4, a_{3} = 1/9, a_{4} = 1/16$ である。

(2)

(1)から $a_{n} = 1/ n^{2}$ と予想する。 $n = 1$ のとき実際に $a_{1} = 1 = 1/ 1^{2}$ である。 $a_{n} = 1/ n^{2}$ と仮定すると

a_{n + 1} = \frac{n \cdot \frac{1}{n ^{2}}}{2 + n ( \frac{1}{n ^{2}} + 1 )} = \frac{1/ n}{2 + 1/ n + n} = \frac{1}{( n + 1 ) ^{2}} .

よって数学的帰納法により、すべての正の整数 $n$ について

a_{n} = \frac{1}{n ^{2}}

である。

(3)

(2)より

m n = m + 1 \sum 2 m a_{n} = m n = m + 1 \sum 2 m \frac{1}{n ^{2}} = \frac{1}{m} n = m + 1 \sum 2 m \frac{1}{( n / m ) ^{2}} .

右辺は関数 $1/ x^{2}$ の区間 $[1, 2]$ における区分求積和であるから

m \to \infty lim m n = m + 1 \sum 2 m a_{n} = \int_{1}^{2} \frac{1}{x ^{2}} d x = [- \frac{1}{x}]_{1}^{2} = \frac{1}{2} .

大阪大学 2012年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

大阪大学 2012年度
後期・理系数学後期第1問