大阪大学 2012年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

$θ$ を実数とし、行列 $P (θ), J, E$ を

P (θ) = (cos θ sin θ - sin θ cos θ), J = (- 1 0 01), E = (1001)

で定める。 $Q = P (2 π /3)$ とおく。 $n, k$ を自然数とする。 $n$ 個の $Q$ と $k$ 個の $J$ からなる順列 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n + k}$ で、行列の積 $A_{1} A_{2} \dots A_{n + k}$ が $E$ と等しいものの個数を $N (n, k)$ とする。

(1) $J P (θ) = P (- θ) J$ を示せ。

(2) $N (200, 2)$ を求めよ。

(3) $N (10, 4)$ を求めよ。

出典：大阪大学 2012年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

(1)は両辺を直接計算する。(2)(3)では、各 $J$ の間に入る $Q$ の個数を非負整数で表す。関係 $J Q = Q^{- 1} J$ 、 $Q^{3} = E$ 、 $J^{2} = E$ を使うと、積が $E$ となる条件は交互の区画に入る $Q$ の総数についての3を法とする条件になる。区画数の数え上げでは、和が一定となる非負整数解の個数を用いる。

解答

(1)

左辺を計算すると

J P (θ) = (- 1 0 01) (cos θ sin θ - sin θ cos θ) = (- cos θ sin θ sin θ cos θ) .

一方、 $cos (- θ) = cos θ$ 、 $sin (- θ) = - sin θ$ より

P (- θ) J = (cos θ - sin θ sin θ cos θ) (- 1 0 01) = (- cos θ sin θ sin θ cos θ) .

したがって $J P (θ) = P (- θ) J$ である。特に $J Q = Q^{- 1} J$ であり、また $Q^{3} = E$ 、 $J^{2} = E$ である。

(2)

2個の $J$ の前、間、後にある $Q$ の個数をそれぞれ $a, b, c$ とする。このとき $a, b, c$ は非負整数で $a + b + c = 200$ であり、積は

Q^{a} J Q^{b} J Q^{c} = Q^{a - b + c} = Q^{200 - 2 b}

となる。これが $E$ となるための条件は $200 - 2 b$ が3の倍数、すなわち $b \equiv 1 (mod 3)$ である。よって $b = 1, 4, \dots, 199$ であり、67通りある。

固定した $b$ に対して $a + c = 200 - b$ の非負整数解は $201 - b$ 個だから

N (200, 2) = j = 0 \sum 66 {201 - (1 + 3 j)} = 67 \cdot 200 - 3 \cdot \frac{66 \cdot 67}{2} = 6767.

(3)

4個の $J$ で区切られる5区画に入る $Q$ の個数を順に $x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ とする。これらは非負整数で、和は10である。(1)の関係を繰り返し用いると積は

Q^{x_{0} - x_{1} + x_{2} - x_{3} + x_{4}} = Q^{10 - 2 (x_{1} + x_{3})}

となる。 $s = x_{1} + x_{3}$ とおけば、積が $E$ となる条件は $10 - 2 s$ が3の倍数である。 $0 ≦ s ≦ 10$ より $s = 2, 5, 8$ である。

固定した $s$ に対し、 $x_{1} + x_{3} = s$ の解は $s + 1$ 個、 $x_{0} + x_{2} + x_{4} = 10 - s$ の解は $_{12 - s} C_{2}$ 個である。したがって

N (10, 4) = 3 \cdot_{10} C_{2} + 6 \cdot_{7} C_{2} + 9 \cdot_{4} C_{2} = 3 \cdot 45 + 6 \cdot 21 + 9 \cdot 6 = 315.

大阪大学 2012年度後期・理系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

大阪大学 2012年度
後期・理系数学後期第2問