大阪大学 2012年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

2つの関数を

f (t) = \frac{1}{2} (t + \frac{1}{t}), g (t) = t^{2} - 2 lo g t

で定める。実数 $t$ が $t > 0$ の範囲を動くとき、点 $(f (t), g (t))$ が $x y$ 平面上に描く曲線を $C$ とする。

(1) $t > 1$ のとき $g (t) > g (1/ t)$ であることを示せ。

(2) $s$ を1以上の実数とする。直線 $x = \frac{1}{2} (s + 1/ s)$ と曲線 $C$ の共有点の個数を求めよ。

(3) $a$ を1より大きい実数とする。直線 $x = \frac{1}{2} (a + 1/ a)$ と曲線 $C$ で囲まれる部分の面積を求めよ。

出典：大阪大学 2012年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

$f (t) = f (1/ t)$ という対称性に着目する。(1)では差 $h (t) = g (t) - g (1/ t)$ を微分して正値を示す。(2)は $f (t) = f (s)$ を二次方程式にして解を $s, 1/ s$ と特定し、(1)で対応する2点が異なることを確認する。(3)は $t ≧ 1$ 側を共通の $x$ の媒介変数として、上下の曲線の差に $d x = f^{'} (t) d t$ を掛けて面積を積分する。

解答

(1)

$h (t) = g (t) - g (1/ t)$ とおく。 $g (1/ t) = t^{- 2} + 2 lo g t$ であるから

h (t) = t^{2} - \frac{1}{t ^{2}} - 4 lo g t .

したがって

h^{'} (t) = 2 t + \frac{2}{t ^{3}} - \frac{4}{t} = \frac{2 ( t ^{2} - 1 ) ^{2}}{t ^{3}} .

$t > 1$ では $h^{'} (t) > 0$ であり、 $h (1) = 0$ だから $h (t) > 0$ である。よって $g (t) > g (1/ t)$ が成り立つ。

(2)

$f (t) = f (s)$ は

t + \frac{1}{t} = s + \frac{1}{s}

と同値である。両辺を整理すると

(t - s) (t - \frac{1}{s}) = 0

となるから、 $t = s$ または $t = 1/ s$ である。

$s = 1$ のときは2つの値が一致するので共有点は1個である。 $s > 1$ のときは $s \neq = 1/ s$ であり、(1)より $g (s) > g (1/ s)$ だから、同じ $x$ 座標をもつ異なる2点になる。したがって共有点は2個である。

(3)

$1 ≦ t ≦ a$ とする。このとき $f^{'} (t) = \frac{1}{2} (1 - t^{- 2}) ≧ 0$ であり、同じ $x = f (t)$ における上側の点は $(f (t), g (t))$ 、下側の点は $(f (t), g (1/ t))$ である。(1)より上下関係も確定している。よって求める面積を $S$ とすると

S = \int_{1}^{a} {g (t) - g (1/ t)} f^{'} (t) d t .

したがって

S = \frac{1}{2} \int_{1}^{a} (t^{2} - \frac{1}{t ^{2}} - 4 lo g t) (1 - \frac{1}{t ^{2}}) d t = \frac{1}{2} \int_{1}^{a} (t^{2} - 1 - \frac{1}{t ^{2}} + \frac{1}{t ^{4}} - 4 lo g t + \frac{4 lo g t}{t ^{2}}) d t .

ここで部分積分により $\int (lo g t) / t^{2} d t = - (lo g t + 1) / t$ である。したがって

S = \frac{1}{2} [\frac{t ^{3}}{3} + 3 t - 4 t lo g t - \frac{3 + 4 lo g t}{t} - \frac{1}{3 t ^{3}}]_{1}^{a} = \frac{a ^{3}}{6} + \frac{3 a}{2} - 2 a lo g a - \frac{3 + 4 lo g a}{2 a} - \frac{1}{6 a ^{3}} .

大阪大学 2012年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

大阪大学 2012年度
後期・理系数学後期第3問