大阪大学 2011年度理系数学第5問解答・解説

問題

正数 $r$ に対して， $a_{1} = 0$ ， $a_{2} = r$ とおき，数列 ${a_{n}}$ を次の漸化式で定める．

a_{n + 1} = a_{n} + r_{n} (a_{n} - a_{n - 1}) (n = 2, 3, 4, \dots)

ただし $a_{n}$ と $a_{n - 1}$ から漸化式を用いて $a_{n + 1}$ を決める際には硬貨を投げ，表がでたとき $r_{n} = \frac{r}{2}$ ，裏がでたとき $r_{n} = \frac{1}{2 r}$ とする．ここで表がでる確率と裏がでる確率は等しいとする． $a_{n}$ の期待値を $p_{n}$ とするとき，以下の問いに答えよ．

(1) $p_{3}$ および $p_{4}$ を， $r$ を用いて表せ．

(2) $n ≧ 3$ のときに $p_{n}$ を， $n$ と $r$ を用いて表せ．

(3) 数列 ${p_{n}}$ が収束するような正数 $r$ の範囲を求めよ．

(4) $r$ が(3)で求めた範囲を動くとき，極限値 $n \to \infty lim p_{n}$ の最小値を求めよ．

出典：大阪大学 2011年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

差 $d_{n} = a_{n} - a_{n - 1}$ に注目する。漸化式から $d_{n + 1} = r_{n} d_{n}$ であり、 $r_{n}$ はそれ以前の硬貨投げで決まる $d_{n}$ と独立なので、期待値の差 $p_{n + 1} - p_{n}$ は $λ (p_{n} - p_{n - 1})$ となる。ただし $λ = E (r_{n}) = (r + 1/ r) /4$ である。したがって差の期待値は等比数列になり、 $p_{n}$ は等比和で表せる。収束条件は $λ < 1$ 、極限値の最小は $4 r^{2} / (4 r - r^{2} - 1)$ を微分して求める。

解答

(1)

まず $λ = E (r_{n})$ とおく。硬貨の表裏は等確率なので

λ = \frac{1}{2} \cdot \frac{r}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 r} = \frac{r + \frac{1}{r}}{4}

である。

漸化式 $a_{n + 1} = a_{n} + r_{n} (a_{n} - a_{n - 1})$ より $a_{n + 1} - a_{n} = r_{n} (a_{n} - a_{n - 1})$ である。 $r_{n}$ は $a_{n} - a_{n - 1}$ を決める以前の硬貨投げとは独立なので、期待値を取ると $p_{n + 1} - p_{n} = λ (p_{n} - p_{n - 1})$ となる。 $p_{1} = 0$ 、 $p_{2} = r$ であるから $p_{2} - p_{1} = r$ である。したがって $p_{3} - p_{2} = λ r$ なので $p_{3} = r + λ r = r + \frac{r ^{2} + 1}{4}$ である。また $p_{4} - p_{3} = λ (p_{3} - p_{2}) = λ^{2} r$ だから $p_{4} = r + λ r + λ^{2} r$ である。これを $r$ で表すと $p_{4} = r + \frac{r ^{2} + 1}{4} + \frac{( r ^{2} + 1 ) ^{2}}{16 r}$ である。

よって

p_{3} = r + \frac{r ^{2} + 1}{4}, p_{4} = r + \frac{r ^{2} + 1}{4} + \frac{( r ^{2} + 1 ) ^{2}}{16 r}

である。

(2)

上で見たように $p_{n + 1} - p_{n} = λ (p_{n} - p_{n - 1})$ であり、初めの差は $p_{2} - p_{1} = r$ である。したがって $p_{k + 1} - p_{k} = λ^{k - 1} r (k ≧ 1)$ である。ただし $k = 1$ では $p_{2} - p_{1} = r$ である。

よって $n ≧ 3$ のとき

p_{n} = p_{1} + (p_{2} - p_{1}) + (p_{3} - p_{2}) + \dots + (p_{n} - p_{n - 1}) = r (1 + λ + λ^{2} + \dots + λ^{n - 2})

である。すなわち

p_{n} = r (1 + λ + λ^{2} + \dots + λ^{n - 2}), λ = \frac{r + \frac{1}{r}}{4}

である。

(3)

$r > 0$ なので $λ > 0$ である。 $p_{n}$ は初項 $r$ 、公比 $λ$ の等比和で表されるから、 ${p_{n}}$ が収束するための必要十分条件は $λ < 1$ である。したがって $\frac{r + \frac{1}{r}}{4} < 1$ すなわち $r + \frac{1}{r} < 4$ である。 $r > 0$ なので両辺に $r$ をかけて $r^{2} - 4 r + 1 < 0$ となる。よって $(r - (2 - 3)) (r - (2 + 3)) < 0$ であるから $2 - 3 < r < 2 + 3$ である。

(4)

(3)の範囲では $λ < 1$ であるから $lim_{n \to \infty} p_{n} = \frac{r}{1 - λ}$ である。 $λ = (r + 1/ r) /4$ を代入すると

\frac{r}{1 - λ} = \frac{r}{1 - \frac{r + \frac{1}{r}}{4}} = \frac{4 r ^{2}}{4 r - r ^{2} - 1}

である。これを $F (r) = \frac{4 r ^{2}}{4 r - r ^{2} - 1}$ とおく。定義域は $2 - 3 < r < 2 + 3$ であり、この範囲では分母は正である。

微分すると $F^{'} (r) = \frac{8 r ( 2 r - 1 )}{( 4 r - r ^{2} - 1 ) ^{2}}$ である。分母は正で、 $r > 0$ なので、符号は $2 r - 1$ で決まる。したがって $F (r)$ は $r < \frac{1}{2}$ で減少し、 $r > \frac{1}{2}$ で増加する。 $1/2$ は (3) の範囲に含まれるので、最小は $r = 1/2$ のときにとられる。

このとき

F (\frac{1}{2}) = \frac{4 \cdot \frac{1}{4}}{4 \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - 1} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}

である。

大阪大学 2011年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

大阪大学 2011年度
理系数学第5問