問題
，，を正の定数とし，の関数を考える．以下，定数はすべて実数とする．
(1) 定数，に対し，次をみたす定数が存在することを示せ．
(2) 恒等式を用いて，次をみたす定数，が存在することを示せ．
(3) すべての自然数に対して，が自然数であるとする．このとき関数は，自然数の定数を用いてと表されることを示せ．
方針
(1)は なら定数項も の倍で押さえられることを使う。(2)は と置いて の 項を消し、残った一次式を(1)で 以下に抑える。さらに立方差の公式を 、 に適用し、分母を 以上と評価して 型にする。(3)は が整数であり、かつ固定実数 に近づくことから、十分大きな では同じ整数 に固定されると示す。無限個の自然数で一致する2つの3次多項式は恒等的に等しい。
解答
(1)
なら である。また より であるから である。したがって とすれば、求める条件 が成り立つ。
(2)
とおく。このとき であり、 なので の係数が と一致する。したがって は高々一次式である。実際に である。
(1)より、ある定数 が存在して、 なら が成り立つ。
ここで とおく。与えられた恒等式 を用いると
である。 は正で、 であるから であり、 である。また なので である。よって である。したがって である。よって とすればよい。
(3)
(2)で得た定数 に対して、すべての自然数 について が成り立つ。仮定より は自然数であるから は整数である。上の不等式は と書ける。 を十分大きく取れば である。このとき整数 は固定された実数 から距離 未満の範囲にある。長さ1未満の区間には整数は高々1つしか入らないので、十分大きな について は同じ整数に等しい。この整数を とおく。
すると十分大きなすべての自然数 について であるから である。
ここで2つの多項式 を考える。これらは十分大きなすべての自然数 で一致するので、無限に多くの で一致する。したがって多項式として恒等的に等しい。よって である。
最後に が自然数であることを確認する。恒等式 と を比べると である。 は正なので であり、また上で は整数であったから、 は自然数である。