問題
実数が動くとき，平面上の動点およびを考える．がの範囲を動くとき，平面内で線分が通過する部分をとする．を軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．
出典：大阪大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第2問
方針
線分 を含む直線を と書き、 で動く線分の包絡線を求める。包絡線は となり、通過領域 はその下側である。回転体の断面半径は上端の なので、 により体積を求める。別解として、固定点 がある線分上に乗る条件を最小化で判定しても同じ境界が出る。
解答
包絡線を用いる解法。
とおく。 なので である。点は であるから、 のとき線分 を含む直線は で表される。端の は極限として同じ領域の境界に含まれる。
直線群 の包絡線を求める。包絡線上では に加えて、 で微分した式も0である。すなわち である。 と書くと であり、 を得る。
一方、直線の式は である。この2式を満たす点を求めると となる。したがって包絡線は である。よって上側の境界は
である。 は第1象限内で、この境界の下側の部分である。したがって 軸のまわりに回転してできる立体の体積は
である。
ここで とおくと、 であり、 から まで動くとき から まで動く。よって
括弧内は
であるから である。
別解。包絡線を微分で求めず、点 がどれかの線分上に乗る条件を直接調べてもよい。、 とおく。 が、端点 を結ぶ線分上またはその下側にある条件は を満たす が存在することである。固定した に対し、 のもとで の最小値を考える。微分により最小は のときに起こり、その最小値は である。したがって点が通過領域に入る条件は すなわち である。よって境界は主解法と同じであり、以後の回転体積の計算から を得る。