大阪大学 2011年度理系数学第1問解答・解説

問題

$a$ を自然数とする． $O$ を原点とする座標平面上で行列 $A = (a 1 - 1 a)$ の表す1次変換を $f$ とする．

(1) $r > 0$ および $0 ≦ θ < 2 π$ を用いて $A = (r cos θ r sin θ - r sin θ r cos θ)$ と表すとき， $r$ ， $cos θ$ ， $sin θ$ を $a$ で表せ．

(2) 点 $Q (1, 0)$ に対し，点 $Q_{n}$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$ を $Q_{1} = Q$ ， $Q_{n + 1} = f (Q_{n})$ で定める． $△ O Q_{n} Q_{n + 1}$ の面積 $S (n)$ を $a$ と $n$ を用いて表せ．

(3) $f$ によって点 $(2, 7)$ に移されるもとの点 $P$ の $x$ 座標の小数第一位を四捨五入して得られる近似値が2であるという．自然数 $a$ の値を求めよ．またこのとき $S (n) > 10^{10}$ となる最小の $n$ を求めよ．ただし $0.3 < lo g_{10} 2 < 0.31$ を用いてよい．

出典：大阪大学 2011年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

(1)は行列を「原点中心の回転と拡大」と見て、 $r cos θ = a$ 、 $r sin θ = 1$ を比較する。(2)は $Q_{n}$ が毎回同じ角 $θ$ だけ回転し、長さが毎回 $r$ 倍されることを使い、 $△ O Q_{n} Q_{n + 1}$ の面積を2辺とその間の角から求める。(3)は逆変換で元の点 $(X, Y)$ を求め、 $X$ が四捨五入で2になる範囲 $3/2 ≦ X < 5/2$ から自然数 $a$ を決める。最後は $a = 2$ を代入した面積の不等式を、5の累乗で判定する。

解答

(1)

与えられた行列は

A = (a 1 - 1 a)

である。一方、問題の形では

A = (r cos θ r sin θ - r sin θ r cos θ)

であるから、成分を比較して $r cos θ = a, r sin θ = 1$ である。したがって $r^{2} = (r cos θ)^{2} + (r sin θ)^{2} = a^{2} + 1$ であり、 $r > 0$ より $r = a^{2} + 1$ である。よって

cos θ = \frac{a}{a ^{2} + 1}, sin θ = \frac{1}{a ^{2} + 1}

である。

(2)

行列 $A$ の表す変換は、原点を中心として角 $θ$ だけ回転し、長さを $r$ 倍する変換である。 $Q_{1} = Q = (1, 0)$ なので $O Q_{1} = 1$ であり、 $Q_{n}$ は $Q$ を $n - 1$ 回移した点である。したがって $O Q_{n} = r^{n - 1}, O Q_{n + 1} = r^{n}$ である。また $Q_{n}$ から $Q_{n + 1}$ へは角 $θ$ だけ回転するので、 $∠ Q_{n} O Q_{n + 1} = θ$ である。

よって三角形の面積は

S (n) = \frac{1}{2} O Q_{n} \cdot O Q_{n + 1} sin θ = \frac{1}{2} r^{n - 1} r^{n} sin θ

である。(1)より $r sin θ = 1$ だから $S (n) = \frac{1}{2} r^{2 n - 2} = \frac{1}{2} (a^{2} + 1)^{n - 1}$ である。したがって $S (n) = \frac{1}{2} (a^{2} + 1)^{n - 1}$ である。

(3)

$f$ によって点 $(2, 7)$ に移されるもとの点を $P = (X, Y)$ とする。このとき

(a 1 - 1 a) (X Y) = (27)

である。すなわち

{a X - Y = 2, X + aY = 7

である。第1式から $Y = a X - 2$ として第2式に代入すると $X + a (a X - 2) = 7$ だから $(a^{2} + 1) X = 2 a + 7$ である。したがって $X = \frac{2 a + 7}{a ^{2} + 1}$ である。

この $X$ の小数第一位を四捨五入して得られる近似値が2であるための条件は $\frac{3}{2} ≦ X < \frac{5}{2}$ である。つまり $\frac{3}{2} ≦ \frac{2 a + 7}{a ^{2} + 1} < \frac{5}{2}$ である。

自然数 $a$ について調べる。 $a = 1$ では $X = \frac{9}{2}$ であり不適。 $a = 2$ では $X = \frac{11}{5} = 2.2$ であり適する。 $a ≧ 3$ のときは $\frac{2 a + 7}{a ^{2} + 1} < \frac{3}{2}$ を確認すればよい。これは $2 (2 a + 7) < 3 (a^{2} + 1)$ すなわち $3 a^{2} - 4 a - 11 > 0$ であり、 $a ≧ 3$ で成り立つ。したがって $a = 2$ である。

このとき $S (n) = \frac{1}{2} (2^{2} + 1)^{n - 1} = \frac{1}{2} \cdot 5^{n - 1}$ である。求める条件は $\frac{1}{2} \cdot 5^{n - 1} > 1 0^{10}$ すなわち $5^{n - 1} > 2 \cdot 1 0^{10}$ である。

実際に $5^{14} = 6103515625 < 2 \cdot 1 0^{10}$ であり、 $5^{15} = 30517578125 > 2 \cdot 1 0^{10}$ である。したがって最小の指数は $n - 1 = 15$ であり、求める最小の $n$ は $16$ である。

大阪大学 2011年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

大阪大学 2011年度
理系数学第1問