問題
円は、2つの放物線（）と（）で囲まれた領域内にあり、両方の放物線と共有点をもち、さらに軸上に中心をもつとする。
(1) がおよびのそれぞれと1点のみを共有するならば、かつであることを示せ。
(2) がおよびのそれぞれと2点のみを共有するならば、かつであることを示せ。
方針
円の中心を 、半径を とする。下側の放物線では を円の式へ代入し、共有点の高さ に関する二次方程式を作る。上側では と置いて同じ形にする。(1)では共有点が1点なら対称性から両頂点で接し、残る根が領域外となる条件を読む。(2)では2個の共有点が対称な接点となるので二次方程式は正の重解をもち、重解の位置と判別式から半径の厳密な下界を得る。
解答
円 の中心を 、半径を とする。下側の放物線 上では だから、円との共有点の 座標は
を満たす。上側では とおくと であり、共有点の 座標は
を満たす。
(1)
放物線と円はいずれも 軸対称である。共有点が1個だけならその点は 軸上にあり、 とは 、 とは で共有する。円は2放物線の間にあるので であり
である。
下側の交点方程式に を代入すると
以外に の根をもたないため 、すなわち である。よって である。
同様に上側の交点方程式へ を代入すると
以外に の根をもたないため である。 より である。
(2)
各放物線との2共有点は 軸に関して対称で、 である。円は2放物線で囲まれた領域内にあるため、共有点で曲線を横切ることはなく、2つの交点方程式はそれぞれ正の重解をもつ。
下側の交点方程式の重解は であり、判別式を0とすると
だから 、したがって である。同様に上側の交点方程式の重解は であり
を得る。
2つの等式から
である。これらを加えると
ここで を使えば
であり、 を得る。また を使えば
であり、 を得る。