大阪大学 2010年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

$a > 0$ は定数、 $0 < θ < π /2$ とする。 $x y z$ 空間で $(a cos θ, a sin θ, 0)$ に中心をもち半径が $a$ の球を $S$ とする。 $S$ を $z x$ 平面により二分し $y$ 軸の負の方向にある部分を $S_{1}$ 、 $S$ を $y z$ 平面により二分し $x$ 軸の負の方向にある部分を $S_{2}$ とする。

(1) $S_{1}$ の体積 $V_{1} (θ)$ を求めよ。

(2) $S$ から $S_{1}$ と $S_{2}$ を取り除いた立体の体積を $V (θ)$ とするとき、 $V (θ)$ の最大値を求めよ。

出典：大阪大学 2010年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

球の中心を基準にした座標で、切断面に平行な円の面積を積分する。(1)では中心からの $y$ 方向変位を $u$ とし、 $- a ≦ u ≦ - a sin θ$ を積分する。(2)の $S_{2}$ は $sin θ$ を $cos θ$ に替えた同形の球冠である。第3象限側では原点から中心までの距離が半径に等しいため $S_{1}, S_{2}$ の内部は重ならない。残りの体積を $s = sin θ + cos θ$ で整理し、 $s ≦ 2$ を使う。

解答

(1)

球の中心の $y$ 座標は $a sin θ$ である。中心からの $y$ 方向の変位を $u$ とすると、その位置で球を $z x$ 平面に平行に切った断面積は $π (a^{2} - u^{2})$ である。 $S_{1}$ では $- a ≦ u ≦ - a sin θ$ だから

V_{1} (θ) = π \int_{- a}^{- a s i n θ} (a^{2} - u^{2}) d u = π a^{3} (\frac{2}{3} - sin θ + \frac{sin ^{3} θ}{3}) .

(2)

同様に、 $S_{2}$ の体積は

π a^{3} (\frac{2}{3} - cos θ + \frac{cos ^{3} θ}{3})

である。また球の中心と原点の距離は

a^{2} cos^{2} θ + a^{2} sin^{2} θ = a

で、半径に等しい。実際、 $x < 0, y < 0$ なら

(x - a cos θ)^{2} + (y - a sin θ)^{2} + z^{2} > a^{2} cos^{2} θ + a^{2} sin^{2} θ = a^{2}

であるから、そのような点は球の内部に入らない。よって $S_{1}$ と $S_{2}$ の内部は重ならない。

球 $S$ の体積は $4 π a^{3} /3$ だから

V (θ) = π a^{3} {sin θ + cos θ - \frac{sin ^{3} θ + cos ^{3} θ}{3}} .

$s = sin θ + cos θ$ とおく。 $sin θ cos θ = (s^{2} - 1) /2$ より

sin^{3} θ + cos^{3} θ = s^{3} - 3 sin θ cos θ s = - \frac{1}{2} s^{3} + \frac{3}{2} s .

したがって

V (θ) = π a^{3} (\frac{s}{2} + \frac{s ^{3}}{6}) .

$0 < θ < π /2$ では $1 < s ≦ 2$ であり、 $s /2 + s^{3} /6$ は正の $s$ とともに増加する。最大値は $θ = π /4$ 、 $s = 2$ のときにとり

max V (θ) = π a^{3} (\frac{2}{2} + \frac{2 2}{6}) = \frac{5 2}{6} π a^{3}

である。

大阪大学 2010年度後期・理系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 2010年度
後期・理系数学後期第2問