大阪大学 2010年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

$p$ は素数、 $r$ は正の整数とする。

(1) $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{r}$ についての式 $(x_{1} + x_{2} + \dots + x_{r})^{p}$ を展開したときの単項式 $x_{1}^{p_{1}} x_{2}^{p_{2}} \dots x_{r}^{p_{r}}$ の係数を求めよ。ここで、 $p_{1}, p_{2}, \dots, p_{r}$ は0または正の整数で $p_{1} + p_{2} + \dots + p_{r} = p$ を満たすとする。

(2) $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{r}$ が正の整数のとき、 $(x_{1} + x_{2} + \dots + x_{r})^{p} - (x_{1}^{p} + x_{2}^{p} + \dots + x_{r}^{p})$ は $p$ で割り切れることを示せ。

(3) $r$ は $p$ で割り切れないとする。このとき、 $r^{p - 1} - 1$ は $p$ で割り切れることを示せ。

出典：大阪大学 2010年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

(1)は $p$ 個の因子から各 $x_{i}$ を選ぶ位置の分け方を数える。(2)では純粋な $x_{i}^{p}$ 以外の項は少なくとも2種類の文字を含むため、各正の指数は $p$ 未満である。その係数の分子 $p!$ だけが素因数 $p$ を含むことから整除性を示す。(3)は (2) に全ての $x_{i} = 1$ を代入し、 $r$ と $p$ が互いに素であることを使う。

解答

(1)

$p$ 個の因子から、 $x_{1}$ を選ぶ位置を $p_{1}$ 個、続いて $x_{2}$ を選ぶ位置を $p_{2}$ 個というように選ぶ。したがって係数は

_{p} C_{p_{1}}_{p - p_{1}} C_{p_{2}} \dots_{p - p_{1} - \dots - p_{r - 1}} C_{p_{r}} = \frac{p !}{p _{1} ! p _{2} ! \dots p _{r} !}

である。ただし $0! = 1$ とする。

(2)

展開に現れる項のうち、1種類の文字だけを選んでできる項は $x_{1}^{p}, x_{2}^{p}, \dots, x_{r}^{p}$ であり、いずれも係数は1である。したがって問題の差に残る各単項式は少なくとも2種類の文字を含む。

そのような項では、 $p_{i} > 0$ である指数は全て $p$ 未満である。(1)の係数

\frac{p !}{p _{1} ! p _{2} ! \dots p _{r} !}

において、分子は素因数 $p$ を1個含むが、各 $p_{i}!$ は素因数 $p$ を含まない。係数は整数だから、この係数は $p$ で割り切れる。よって差に含まれる全ての項の係数が $p$ で割り切れ、差全体も $p$ で割り切れる。

(3)

(2)で $x_{1} = x_{2} = \dots = x_{r} = 1$ とすると

r^{p} - r

は $p$ で割り切れる。すなわち $r (r^{p - 1} - 1)$ は $p$ で割り切れる。 $p$ は素数で $r$ は $p$ で割り切れないから、 $r$ と $p$ は互いに素である。したがって $r^{p - 1} - 1$ が $p$ で割り切れる。

大阪大学 2010年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

大阪大学 2010年度
後期・理系数学後期第1問