大阪大学 2010年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

曲線 $C : y = e^{x} / (1 + e^{x})$ 上に点 $A (a, e^{a} / (1 + e^{a}))$ をとる。ただし、 $a > 0$ とする。

(1) $C$ 上にあり $A$ とは異なる点 $P (p, e^{p} / (1 + e^{p}))$ について、そこでの接線が $A$ での接線と平行となるように $p$ の値を定めよ。

(2) $p$ は(1)で定めた値とする。 $C$ と $x$ 軸および2直線 $x = a$ 、 $x = p$ で囲まれた図形を $x$ 軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積を求めよ。

出典：大阪大学 2010年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

関数 $f (x) = e^{x} / (1 + e^{x})$ を微分し、接線の傾き $f^{'} (x) = e^{x} / (1 + e^{x})^{2}$ が $x$ と $- x$ で等しいことを使う。傾き方程式を $X = e^{p}$ の二次方程式として解き、 $p = a$ 以外の解が $- a$ だけであることも確認する。(2)は円板法で $π \int_{- a}^{a} f (x)^{2} d x$ とし、 $u = e^{x}$ の置換で積分する。

解答

(1)

$f (x) = e^{x} / (1 + e^{x})$ とおくと

f^{'} (x) = \frac{e ^{x}}{( 1 + e ^{x} ) ^{2}}

である。 $X = e^{p} > 0$ 、 $A = e^{a} > 1$ とおけば、接線が平行である条件は

\frac{X}{( 1 + X ) ^{2}} = \frac{A}{( 1 + A ) ^{2}}

である。整理すると

A X^{2} - (1 + A^{2}) X + A = 0

となり

(X - A) (X - \frac{1}{A}) = 0

と因数分解できる。点 $P$ は $A$ と異なるので $X \neq = A$ であり、 $X = 1/ A = e^{- a}$ である。したがって

p = - a

である。

(2)

(1)より $p = - a$ である。円板法により、求める体積を $V$ とすると

V = π \int_{- a}^{a} (\frac{e ^{x}}{1 + e ^{x}})^{2} d x .

$u = e^{x}$ とおけば $d x = d u / u$ であるから

\int (\frac{e ^{x}}{1 + e ^{x}})^{2} d x = \int \frac{u}{( 1 + u ) ^{2}} d u = lo g (1 + u) + \frac{1}{1 + u} .

よって

\frac{V}{π} = [lo g (1 + e^{x}) + \frac{1}{1 + e ^{x}}]_{- a}^{a} = lo g \frac{1 + e ^{a}}{1 + e ^{- a}} + \frac{1}{1 + e ^{a}} - \frac{1}{1 + e ^{- a}} = a - \frac{e ^{a} - 1}{e ^{a} + 1} .

したがって

V = π (a - \frac{e ^{a} - 1}{e ^{a} + 1})

である。

大阪大学 2010年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 2010年度
後期・理系数学後期第3問