問題
平面上の三角形を考え，辺の中点をとする．，とおき，点をであるようにとる．直線にから下ろした垂線と直線の交点をとする．
(1) とは平行であることを示せ．
(2) であることを示せ．
出典：大阪大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問
方針
はOA, OB方向の単位ベクトルである。条件からを得る。一方，単位ベクトルの差はと直交するので，直線OPは方向である。QはAのOPへの射影として計算し，Mは中点として表す。最後にを引き算すれば，平行性と長さが同時に出る。座標をOP方向に取る別解でも同じ構造が確認できる。
解答
，とおく。すると
である。
与えられた条件 から，特に である。つまり直線OPはに垂直である。
一方，はいずれも単位ベクトルなので である。したがってもに垂直である。平面上で同じ直線に垂直な方向は平行だから，直線OPは方向である。
QはAから直線OPに下ろした垂線の足であるから，はを方向へ正射影したベクトルである。よって
である。ここで かつ
であるから となる。
またMはABの中点なので
である。
(1)
である。したがってはの実数倍であるから， である。
(2)
(1)で得た式とより
である。，であったから
である。
別解。直線OPを軸に取る座標で考える。OPは方向であり，に垂直なので，単位ベクトルは軸に関して対称に と書ける。ただしである。このとき であり，Aから軸に下ろした垂線の足は である。また なので
となり，平行性と長さの主張が同時に従う。