問題
を2次方程式の解とするとき，をみたす整数の組をすべて求めよ．ただし，必要ならばが無理数であることは証明せずに用いてよい．
出典：大阪大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第3問
方針
はを満たすので，積をの形に整理する。は無理数であるから，なら有理部分との係数を比較できる。得られた2本の整数方程式からを消去し，に落とす。整数の積が1であることからとの可能性を確認し，整数解だけを残す。
解答
は方程式の解なので を満たす。またであり，は無理数だからも無理数である。
与えられた式の左辺を展開すると
である。これが1に等しいので である。
ここで，もし を満たす有理数がありなら，となってが有理数になってしまう。したがっての係数と定数部分を比較できる。よって であり，後者は すなわち である。
これをに代入すると となる。よって である。 は整数なので，左辺は整数の積である。したがって である。
まずの場合， だから である。因数分解して となるので である。このとき だから， である。
次にの場合， だから である。この判別式は であり，204は平方数ではない。したがって整数解は存在しない。
以上より，求める整数の組は である。