大阪大学 2009年度理系数学第1問解答・解説

問題

放物線 $C : y = x^{2}$ 上の点 $A_{1} (a_{1}, a_{1}^{2}), A_{2} (a_{2}, a_{2}^{2}), A_{3} (a_{3}, a_{3}^{2}), \dots$ を， $A_{k + 2}$ $(k ≧ 1)$ における $C$ の接線が直線 $A_{k} A_{k + 1}$ に平行であるようにとる．ただし， $a_{1} < a_{2}$ とする．三角形 $A_{k} A_{k + 1} A_{k + 2}$ の面積を $T_{k}$ とし，直線 $A_{1} A_{2}$ と $C$ で囲まれた部分の面積を $S$ とする．このとき次の問いに答えよ．

(1) $\frac{T _{k + 1}}{T _{k}}$ を求めよ．

(2) $n \to \infty lim k = 1 \sum n T_{k}$ を $S$ を用いて表せ．

出典：大阪大学 2009年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

弦 $A_{k} A_{k + 1}$ の傾きは $a_{k} + a_{k + 1}$ ，放物線の接線の傾きは $2 a_{k + 2}$ なので，まず $a_{k + 2} = (a_{k} + a_{k + 1}) /2$ を得る。差 $d_{k} = a_{k + 1} - a_{k}$ は次に $- 1/2$ 倍される。三角形の面積は3点の $x$ 座標差から $∣ d_{k} ∣^{3} /8$ と計算し，面積比を出す。(2)では初項 $T_{1}$ と，弦 $A_{1} A_{2}$ と放物線で囲まれる面積 $S$ を同じ $d = a_{2} - a_{1}$ で表し，等比級数を合計する。

解答

(1)

放物線 $C : y = x^{2}$ 上の2点 $A_{k} (a_{k}, a_{k}^{2})$ ， $A_{k + 1} (a_{k + 1}, a_{k + 1}^{2})$ を結ぶ直線の傾きは $\frac{a _{k + 1}^{2} - a _{k}^{2}}{a _{k + 1} - a _{k}} = a_{k} + a_{k + 1}$ である。一方， $y = x^{2}$ の導関数は $y^{'} = 2 x$ であるから， $A_{k + 2}$ における接線の傾きは $2 a_{k + 2}$ である。条件よりこれらが等しいので $2 a_{k + 2} = a_{k} + a_{k + 1}$ すなわち $a_{k + 2} = \frac{a _{k} + a _{k + 1}}{2}$ である。

ここで $d_{k} = a_{k + 1} - a_{k}$ とおくと

d_{k + 1} = a_{k + 2} - a_{k + 1} = \frac{a _{k} + a _{k + 1}}{2} - a_{k + 1} = - \frac{1}{2} (a_{k + 1} - a_{k}) = - \frac{1}{2} d_{k}

である。

次に， $T_{k}$ を $d_{k}$ で表す。 $a = a_{k}, d = d_{k}$ とおくと $a_{k + 1} = a + d, a_{k + 2} = a + \frac{d}{2}$ である。したがって

A_{k} A_{k + 1} = (d, 2 a d + d^{2}), A_{k} A_{k + 2} = (\frac{d}{2}, a d + \frac{d ^{2}}{4})

である。三角形の面積は行列式の絶対値の半分だから

T_{k} = \frac{1}{2} d (a d + \frac{d ^{2}}{4}) - \frac{d}{2} (2 a d + d^{2}) = \frac{1}{2} a d^{2} + \frac{d ^{3}}{4} - a d^{2} - \frac{d ^{3}}{2} = \frac{∣ d ∣ ^{3}}{8}

である。よって

\frac{T _{k + 1}}{T _{k}} = \frac{∣ d _{k + 1} ∣ ^{3} /8}{∣ d _{k} ∣ ^{3} /8} = (\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{8}

である。

(2)

$d = a_{2} - a_{1}$ とおく。仮定より $d > 0$ である。(1)の面積公式から $T_{1} = \frac{d ^{3}}{8}$ である。

一方，直線 $A_{1} A_{2}$ の方程式は傾き $a_{1} + a_{2}$ を用いて $y = (a_{1} + a_{2}) x - a_{1} a_{2}$ である。よって放物線との差は

((a_{1} + a_{2}) x - a_{1} a_{2}) - x^{2} = - (x - a_{1}) (x - a_{2}) = (x - a_{1}) (a_{2} - x)

である。したがって囲まれた面積 $S$ は $S = \int_{a_{1}}^{a_{2}} (x - a_{1}) (a_{2} - x) d x$ である。 $s = x - a_{1}$ とおくと $0 ≦ s ≦ d$ ， $a_{2} - x = d - s$ なので

S = \int_{0}^{d} s (d - s) d s = [\frac{d}{2} s^{2} - \frac{1}{3} s^{3}]_{0}^{d} = \frac{d ^{3}}{2} - \frac{d ^{3}}{3} = \frac{d ^{3}}{6}

である。

(1)より $T_{k}$ は初項 $T_{1}$ ，公比 $1/8$ の等比数列である。したがって

n \to \infty lim k = 1 \sum n T_{k} = \frac{T _{1}}{1 - 1/8} = \frac{8}{7} \cdot \frac{d ^{3}}{8} = \frac{d ^{3}}{7}

である。 $S = d^{3} /6$ だから $\frac{d ^{3}}{7} = \frac{6}{7} S$ となる。よって $n \to \infty lim k = 1 \sum n T_{k} = \frac{6}{7} S$ である。

大阪大学 2009年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 2009年度
理系数学第1問