大阪大学 2009年度理系数学第2問解答・解説

問題

行列 $A = \frac{1}{2} cos \frac{π}{3} sin \frac{π}{3} - sin \frac{π}{3} cos \frac{π}{3}$ の表す1次変換を $f$ とする．点 $P (163, 16)$ をとり， $P_{1} = f (P), P_{n + 1} = f (P_{n}) (n = 1, 2, 3, \dots)$ とする．正の整数 $k$ に対して，次の条件をみたす領域を $D_{k}$ とする．

x < 0, y < 0, 3 x + y ≦ - 2^{- k}

このとき $D_{k}$ に含まれる $P_{n}$ の個数を $k$ で表せ．

出典：大阪大学 2009年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

行列は原点中心に角 $π /3$ だけ回転し，長さを $1/2$ 倍する変換である。最初の点Pを極座標で表し， $P_{n} = f^{n} (P)$ の距離と偏角を求める。領域 $D_{k}$ のうち $x < 0, y < 0$ は第三象限なので，偏角の周期から $n \equiv 3 (mod 6)$ だけが候補になる。その候補について $3 x + y$ を直接計算し，不等式を $n$ の上限に直して個数を数える。

解答

行列

A = \frac{1}{2} (cos \frac{π}{3} sin \frac{π}{3} - sin \frac{π}{3} cos \frac{π}{3})

の表す変換は，原点を中心に角 $π /3$ だけ回転し，さらに原点からの距離を $1/2$ 倍する変換である。

点 $P (163, 16)$ について $O P = (163)^{2} + 1 6^{2} = 768 + 256 = 32 = 2^{5}$ であり，また

cos θ = \frac{16 3}{32} = \frac{3}{2}, sin θ = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}

だから，Pの偏角は $π /6$ である。 $P_{1} = f (P)$ ， $P_{n + 1} = f (P_{n})$ なので， $P_{n} = f^{n} (P)$ である。したがって $O P_{n} = 2^{5 - n}, ar g P_{n} = \frac{π}{6} + \frac{nπ}{3}$ となる。

まず $x < 0, y < 0$ となる $n$ を調べる。これは $P_{n}$ が第三象限にあることを意味する。偏角 $\frac{π}{6} + \frac{nπ}{3}$ を $2 π$ を法として見ると，第三象限に入るのは $\frac{π}{6} + \frac{nπ}{3} \equiv \frac{7 π}{6} (mod 2 π)$ のときである。よって $\frac{nπ}{3} \equiv π (mod 2 π)$ すなわち $n \equiv 3 (mod 6)$ である。

このとき偏角は $7 π /6$ と同じ向きなので， $r = O P_{n} = 2^{5 - n}$ とおくと

x = r cos \frac{7 π}{6} = - \frac{3}{2} r, y = r sin \frac{7 π}{6} = - \frac{1}{2} r

である。したがって

3 x + y = 3 (- \frac{3}{2} r) - \frac{1}{2} r = - \frac{3}{2} r - \frac{1}{2} r = - 2 r = - 2 \cdot 2^{5 - n} = - 2^{6 - n}

である。

領域 $D_{k}$ の残りの条件 $3 x + y ≦ - 2^{- k}$ は，候補 $n \equiv 3 (mod 6)$ に対して $- 2^{6 - n} ≦ - 2^{- k}$ となる。両辺に $- 1$ を掛けると不等号が逆向きになり $2^{6 - n} ≧ 2^{- k}$ である。底 $2$ は $1$ より大きいので $6 - n ≧ - k$ すなわち $n ≦ k + 6$ である。

以上より，数えるべき正の整数 $n$ は $n = 3, 9, 15, \dots, n ≦ k + 6$ である。 $n = 3 + 6 m$ とおくと $m$ は0以上の整数で $3 + 6 m ≦ k + 6$ すなわち $m ≦ \frac{k + 3}{6}$ を満たす。したがって個数は $⌊ \frac{k + 3}{6} ⌋ + 1$ である。

大阪大学 2009年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

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理系数学第2問