大阪大学 2009年度後期・理系数学後期第4問解答・解説

問題

$a, b, c$ を実数とする。 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ 、 $g (x) = x^{3}$ とおく。2つの関数 $y = f (x)$ 、 $y = g (x)$ のグラフが異なる2点 $P, Q$ を共有している。さらに点 $P$ での2つのグラフの接線が一致し、点 $Q$ での2つのグラフの接線は直交しているとする。これらの条件を満たすように $a, b, c$ を変化させるとき、2つのグラフで囲まれた部分の面積 $S$ の最小値を求めよ。

出典：大阪大学 2009年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第4問

方針

共有点 $P, Q$ の $x$ 座標を $p, q$ とする。差 $h (x) = g (x) - f (x)$ は最高次係数1の3次式で、 $P$ では値と導関数が0、 $Q$ では値が0なので $h (x) = (x - p)^{2} (x - q)$ 。 $Q$ における2接線の傾きの積が $- 1$ という条件から距離 $d = ∣ q - p ∣$ を評価する。囲まれた面積は相似変形で $d^{4} /12$ となり、相加相乗平均で最小値を決める。

解答

点 $P, Q$ の $x$ 座標をそれぞれ $p, q$ とする。 $h (x) = g (x) - f (x)$ とおくと、 $h (x)$ は最高次係数1の3次式である。点 $P$ では2曲線の値と接線が一致するので

h (p) = h^{'} (p) = 0

であり、点 $Q$ では $h (q) = 0$ である。 $p \neq = q$ だから

h (x) = (x - p)^{2} (x - q) .

したがって

h^{'} (q) = (q - p)^{2} .

一方 $h^{'} = g^{'} - f^{'}$ であり $g^{'} (q) = 3 q^{2}$ だから

f^{'} (q) = 3 q^{2} - (q - p)^{2} .

点 $Q$ で2接線は直交するので、傾きの積は $- 1$ である。よって

3 q^{2} {3 q^{2} - (q - p)^{2}} = - 1.

特に $q \neq = 0$ であり

(q - p)^{2} = 3 q^{2} + \frac{1}{3 q ^{2}} .

相加相乗平均より

(q - p)^{2} ≧ 2,

等号は $3 q^{2} = 1$ のときに成り立つ。

2曲線で囲まれた部分の面積は

S = \int_{p}^{q} ∣ (x - p)^{2} (x - q) ∣ d x

である。 $d = ∣ q - p ∣$ とおき、区間を長さ $d$ に拡大・縮小して計算すると

S = d^{4} \int_{0}^{1} u^{2} (1 - u) d u = \frac{d ^{4}}{12} .

$d^{2} ≧ 2$ だから

S ≧ \frac{4}{12} = \frac{1}{3} .

最後に等号が実現することを確認する。例えば $q = 1/ 3$ 、 $p = q - 2$ とし

h (x) = (x - p)^{2} (x - q), f (x) = x^{3} - h (x)

と定める。 $f$ は2次以下の多項式であり、 $p, q$ は異なる2共有点、 $p$ では接線が一致する。また $(q - p)^{2} = 2$ 、 $3 q^{2} = 1$ なので $q$ で接線は直交する。したがって最小値は

\frac{1}{3}

である。

大阪大学 2009年度後期・理系数学 後期 第4問

問題

方針

解答

大阪大学 2009年度
後期・理系数学後期第4問