大阪大学 2009年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

$r, s, α, β$ を実数とする。ただし $α \neq = β$ とする。 $a_{1} = α$ 、 $b_{1} = β$ として、数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ を

(a_{n + 1} b_{n + 1}) = (1 - r s r 1 - s) (a_{n} b_{n}) (n = 1, 2, \dots)

により定める。

(1) $n \to \infty$ のとき $a_{n} - b_{n} \to 0$ となるための $r, s$ の満たすべき条件を求めよ。

(2) $n \to \infty lim (a_{n} - b_{n}) = 0$ となるとき $n \to \infty lim a_{n}$ を求めよ。

出典：大阪大学 2009年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

2つの漸化式を引き、差 $d_{n} = a_{n} - b_{n}$ が公比 $1 - r - s$ の等比数列になることを使う。初期差は0でないため、極限0の必要十分条件は公比の絶対値が1未満であること。(2)では $s a_{n} + r b_{n}$ が不変であることを直接確かめ、 $b_{n} = a_{n} - d_{n}$ と合わせて $a_{n}$ を不変量と $d_{n}$ で表す。

解答

(1)

2つの漸化式を引くと

a_{n + 1} - b_{n + 1} = (1 - r) a_{n} + r b_{n} - s a_{n} - (1 - s) b_{n} = (1 - r - s) (a_{n} - b_{n}) .

したがって

a_{n} - b_{n} = (1 - r - s)^{n - 1} (α - β) .

$α \neq = β$ だから、この式が0に収束するための必要十分条件は

∣1 - r - s ∣ < 1

である。よって求める条件は

0 < r + s < 2

である。

(2)

(1)の条件のもとでは $r + s \neq = 0$ である。また

s a_{n + 1} + r b_{n + 1} = s {(1 - r) a_{n} + r b_{n}} + r {s a_{n} + (1 - s) b_{n}} = s a_{n} + r b_{n} .

したがって

s a_{n} + r b_{n} = s α + r β

は $n$ によらず一定である。 $d_{n} = a_{n} - b_{n}$ とおくと $b_{n} = a_{n} - d_{n}$ だから

(r + s) a_{n} - r d_{n} = s α + r β .

よって

a_{n} = \frac{s α + r β + r d _{n}}{r + s} .

(1)より $d_{n} \to 0$ なので

n \to \infty lim a_{n} = \frac{s α + r β}{r + s} .

大阪大学 2009年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 2009年度
後期・理系数学後期第1問