大阪大学 2009年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

$O$ を原点とする $x y z$ 空間に3点 $A (- 2, - 2, 0)$ 、 $B (6, - 2, 0)$ 、 $C (- 2, 4, 0)$ をとり、球 $S : x^{2} + y^{2} + (z - 4)^{2} ≦ 4$ を考える。

(1) 三角形 $A B C$ の周または内部の点を $P$ とする。このとき、 $α + β + γ = 1$ となる0以上の3つの実数 $α, β, γ$ を用いて $O P = α O A + β O B + γ O C$ と表されることを示せ。

(2) 点 $P$ が三角形 $A B C$ の周および内部を、点 $Q$ は球 $S$ の表面および内部を動くとき、線分 $P Q$ の中点 $M$ が動いてできる立体を $V$ とする。3点 $A^{'}, B^{'}, C^{'}$ に対して、大きさ1以下のベクトル $r$ と $α + β + γ = 1$ となる0以上の3つの実数 $α, β, γ$ を用いて $O R = α O A^{'} + β O B^{'} + γ O C^{'} + r$ と表される点 $R$ 全体のなす集合を $W$ とする。 $V$ と $W$ が一致するような3点 $A^{'}, B^{'}, C^{'}$ を求めよ。

(3) 立体 $V$ の体積を求めよ。

出典：大阪大学 2009年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

(1)は $P = A + u (B - A) + v (C - A)$ と置き、三角形内の条件 $u, v ≧ 0, u + v ≦ 1$ を係数へ読み替える。(2)では球の中心を $H = (0, 0, 4)$ とし、 $Q = H + 2 r$ 、 $∣ r ∣ ≦ 1$ と表す。中点は三角形 $(A + H) /2, (B + H) /2, (C + H) /2$ と単位球の和になる。(3)は高さ $2 + h$ の断面を考え、半径 $1 - h^{2}$ だけ平面三角形を外側へ広げた図形の面積を積分する。

解答

(1)

三角形 $A B C$ は $A$ を直角とする三角形である。 $P = (x, y, 0)$ とすると、 $P$ が三角形の周または内部にあるための条件は

x ≧ - 2, y ≧ - 2, 3 x + 4 y ≦ 10

である。ここで

u = \frac{x + 2}{8}, v = \frac{y + 2}{6}

とおくと $u, v ≧ 0$ であり、最後の不等式から $u + v ≦ 1$ である。また

P = A + u (B - A) + v (C - A) .

したがって $α = 1 - u - v$ 、 $β = u$ 、 $γ = v$ とおけば、3数は0以上で和が1となり

O P = α O A + β O B + γ O C

と表される。

(2)

球 $S$ の中心を $H = (0, 0, 4)$ とする。球内の点 $Q$ は

O Q = O H + 2 r (∣ r ∣ ≦ 1)

と表せる。(1)の表示を用いると、中点 $M$ は

O M = \frac{1}{2} (O P + O Q) = α \frac{O A + O H}{2} + β \frac{O B + O H}{2} + γ \frac{O C + O H}{2} + r .

したがって

A^{'} = \frac{A + H}{2} = (- 1, - 1, 2), B^{'} = \frac{B + H}{2} = (3, - 1, 2), C^{'} = \frac{C + H}{2} = (- 1, 2, 2)

とすれば $V$ の全ての点は $W$ に属する。逆に、この表示を満たす係数と $r$ から (1) の点 $P$ と球内の点 $Q = H + 2 r$ を作れば、その中点が $R$ になる。よって $V = W$ である。

(3)

三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ は辺の長さが3、4、5の直角三角形であり、面積は6、周の長さは12である。平面 $z = 2 + h$ で $V$ を切る。ただし $- 1 ≦ h ≦ 1$ とする。この断面は、三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ を平面内で

ρ = 1 - h^{2}

だけ外側へ広げた図形である。

この平面図形は、もとの三角形、3辺に沿う幅 $ρ$ の長方形、および3頂点の外側にできる扇形に分けられる。外角の和は $2 π$ なので扇形の面積の和は $π ρ^{2}$ である。したがって断面積は

6 + 12 ρ + π ρ^{2} = 6 + 12 1 - h^{2} + π (1 - h^{2}) .

よって

立体 V の体積 = \int_{- 1}^{1} {6 + 12 1 - h^{2} + π (1 - h^{2})} d h = 12 + 12 \cdot \frac{π}{2} + π \cdot \frac{4}{3} = 12 + \frac{22 π}{3} .

大阪大学 2009年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

大阪大学 2009年度
後期・理系数学後期第3問