大阪大学 2009年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

(1) $3$ が無理数であることを証明せよ。

(2) $a, b$ を有理数とする。多項式 $f (x) = x^{2} + a x + b$ が $f (1 + 3) = 0$ を満たすとき、 $a, b$ を求めよ。

(3) $n$ を2以上の自然数とする。 $g (x)$ は有理数を係数とする $n$ 次多項式で最高次の係数が1であるとする。 $g (1 + 3) = 0$ となるとき、 $g (1 - 3) = 0$ を示せ。

出典：大阪大学 2009年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

(1)は既約分数 $p / q$ を仮定して3が分子・分母の両方を割る矛盾を導く。(2)は $(1 + 3)^{2} = 4 + 23$ を代入し、有理数部分と $3$ の係数を分離する。(3)は (2) で得た最小の2次式 $x^{2} - 2 x - 2$ で $g (x)$ を割り、1次以下の余りが $1 + 3$ で0なら余り自体が0であることを (1) から示す。

解答

(1)

$3$ が有理数であると仮定し

3 = \frac{p}{q}

と既約分数で表す。ただし $p, q$ は正の整数とする。2乗して $p^{2} = 3 q^{2}$ だから $p^{2}$ は3の倍数であり、 $p$ も3の倍数である。 $p = 3 k$ とおくと

9 k^{2} = 3 q^{2}, q^{2} = 3 k^{2}

となり、 $q$ も3の倍数である。これは $p / q$ が既約であることに反する。よって $3$ は無理数である。

(2)

$(1 + 3)^{2} = 4 + 23$ より

0 = f (1 + 3) = (4 + a + b) + (2 + a) 3 .

もし $2 + a \neq = 0$ なら $3 = - (4 + a + b) / (2 + a)$ は有理数となり、(1)に反する。したがって $2 + a = 0$ であり、さらに $4 + a + b = 0$ である。よって

a = - 2, b = - 2

である。

(3)

$h (x) = x^{2} - 2 x - 2$ とおく。(2)より $h (1 + 3) = 0$ である。有理数係数の多項式の割り算により

g (x) = h (x) q (x) + ux + v

と書ける。ただし $q (x)$ は有理数係数の多項式、 $u, v$ は有理数である。 $x = 1 + 3$ を代入すると

u (1 + 3) + v = 0.

$u \neq = 0$ なら $3 = - (u + v) / u$ が有理数となるので、(1)に反する。よって $u = 0$ 、さらに $v = 0$ である。したがって $g (x) = h (x) q (x)$ である。

一方

h (1 - 3) = (1 - 3)^{2} - 2 (1 - 3) - 2 = 0

だから

g (1 - 3) = h (1 - 3) q (1 - 3) = 0.

大阪大学 2009年度後期・理系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

大阪大学 2009年度
後期・理系数学後期第2問