大阪大学 2008年度理系数学第5問解答・解説

問題

1枚の硬貨を繰り返し投げる反復試行を行い，表が500回続けて出たときに終わるものとする． $n$ を500以上の自然数とするとき，この反復試行が $n$ 回目で終わる確率を $p (n)$ とする．

(1) $501 ≦ n ≦ 1000$ のとき， $p (n)$ は $n$ に関係なく一定の値になることを示し，またその値を求めよ．

(2) $p (1002) - p (1001)$ の値を求めよ．

(3) $1002 ≦ n ≦ 1500$ のとき， $p (n + 1) - p (n)$ の値を求めよ．

出典：大阪大学 2008年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

$n$ 回目で初めて終わるには，最後の500回がすべて表であり， $n > 500$ ならその直前の $n - 500$ 回目は裏でなければならない。したがって，その前の長さ $L = n - 501$ の列に「表500連続」が現れないものの個数を数えればよい。 $L ≦ 499$ ではすべて許されるので(1)が一定になる。(2)は $L = 500, 501$ の禁止列を直接数える。(3)は長さ $L$ の許される列の個数を $A_{L}$ とし，末尾に1回分を付け加えたときに新たに表500連続ができる列だけを引く。

解答

表を $H$ ，裏を $T$ と書く。 $n$ 回目で終わるためには，最後の500回，すなわち $n - 499, n - 498, \dots, n$ 回目がすべて表でなければならない。また $n > 500$ のとき， $n - 500$ 回目も表であると，500回連続の表は $n - 1$ 回目以前にすでに完成してしまう。したがって $n > 500$ では $n - 500$ 回目は裏である必要がある。

(1)

$501 ≦ n ≦ 1000$ とする。このとき $n$ 回目で終わる列は

n - 501 回 * * \dots * T 500 回 H H \dots H

の形である。最初の $n - 501$ 回は長さが高々499なので，その中に表500回連続は起こり得ない。したがって自由に選べる。

よってそのような列の個数は $2^{n - 501}$ 通りであり，全事象は $2^{n}$ 通りだから $p (n) = \frac{2 ^{n - 501}}{2 ^{n}} = \frac{1}{2 ^{501}}$ である。これは $n$ によらず一定である。

(2)

まず $n = 1001$ のとき，最後の形は

500 回 * * \dots * T 500 回 H H \dots H

である。最初の500回の列のうち，すべて表である1通りだけは，その時点で終了してしまうので許されない。したがって $p (1001) = \frac{2 ^{500} - 1}{2 ^{1001}}$ である。

次に $n = 1002$ のとき，最後の形は

501 回 * * \dots * T 500 回 H H \dots H

である。最初の501回の中に表500回連続が現れてはいけない。長さ501の列で表500回連続を含むものは

501 回 H H \dots H, 500 回 H H \dots H T, T 500 回 H H \dots H

の3通りである。よって $p (1002) = \frac{2 ^{501} - 3}{2 ^{1002}}$ である。

したがって

p (1002) - p (1001) = \frac{2 ^{501} - 3}{2 ^{1002}} - \frac{2 ^{500} - 1}{2 ^{1001}} = \frac{2 ^{501} - 3 - 2 ( 2 ^{500} - 1 )}{2 ^{1002}} = - \frac{1}{2 ^{1002}} .

(3)

長さ $L$ の表裏の列のうち，表が500回続けて現れないものの個数を $A_{L}$ とする。 $n ≧ 501$ では， $n$ 回目で終わる列は $長さ n - 501 の許される列 T H^{500}$ の形であるから， $p (n) = \frac{A _{n - 501}}{2 ^{n}}$ である。 $1002 ≦ n ≦ 1500$ とし， $L = n - 501$ とおく。このとき $501 ≦ L ≦ 999$ である。長さ $L$ の許される列に，次の1回を付け加えて長さ $L + 1$ の列を作る。単純には $2 A_{L}$ 通りあるが，最後に表を付け加えたことで新たに末尾に表500連続ができるものを除かなければならない。

そのような列は，長さ $L$ の列の末尾499個がすべて表で，その直前が裏であるものに限られる。なぜなら直前も表なら，長さ $L$ の時点ですでに表500連続ができてしまっているからである。残りの前半部分の長さは $L - 500$ であり， $L ≦ 999$ なのでこの前半部分の中に表500連続は起こり得ない。したがって除くべき列は $2^{L - 500}$ 通りである。

よって $A_{L + 1} = 2 A_{L} - 2^{L - 500}$ である。したがって

p (n + 1) - p (n) = \frac{A _{L + 1}}{2 ^{n + 1}} - \frac{A _{L}}{2 ^{n}} = \frac{A _{L + 1} - 2 A _{L}}{2 ^{n + 1}} = - \frac{2 ^{L - 500}}{2 ^{n + 1}} .

ここで $L = n - 501$ だから

- \frac{2 ^{L - 500}}{2 ^{n + 1}} = - \frac{2 ^{n - 1001}}{2 ^{n + 1}} = - \frac{1}{2 ^{1002}} .

よって $1002 ≦ n ≦ 1500$ で $p (n + 1) - p (n) = - \frac{1}{2 ^{1002}}$ である。

大阪大学 2008年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

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理系数学第5問