大阪大学 2008年度理系数学第4問解答・解説

問題

$t$ を負の実数とし， $x y$ 平面上で曲線 $y = 2^{2 x + 2 t}$ と曲線 $y = 2^{x + 3 t}$ および $y$ 軸で囲まれる部分を $D$ とする．

(1) $D$ を $x$ 軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積 $V (t)$ を求めよ．

(2) $t$ が負の実数の範囲を動くとき， $V (t)$ の最大値を求めよ．

出典：大阪大学 2008年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

まず2曲線の交点を求めると $x = t$ であり， $t < 0$ なので領域は $t ≦ x ≦ 0$ にある。この区間では指数の差から $2^{2 x + 2 t} ≧ 2^{x + 3 t}$ と分かる。 $x$ 軸回転の体積は $π \int (上^{2} - 下^{2}) d x$ で計算する。得られた $V (t)$ は $u = 2^{2 t}$ とおくと $0 < u < 1$ 上の $u^{2} (1 - u)^{2}$ の最大化に帰着する。

解答

(1)

2曲線の交点を求める。指数関数 $2^{X}$ は単調増加なので， $2^{2 x + 2 t} = 2^{x + 3 t}$ は $2 x + 2 t = x + 3 t$ と同値であり， $x = t$ である。領域は $y$ 軸，すなわち $x = 0$ とこの交点の間にあるので， $t ≦ x ≦ 0$ を考えればよい。

この区間で $(2 x + 2 t) - (x + 3 t) = x - t ≧ 0$ であるから， $2^{2 x + 2 t} ≧ 2^{x + 3 t}$ である。したがって $x$ 軸のまわりに回転してできる体積は $V (t) = π \int_{t}^{0} {(2^{2 x + 2 t})^{2} - (2^{x + 3 t})^{2}} d x$ である。すなわち $V (t) = π \int_{t}^{0} (2^{4 x + 4 t} - 2^{2 x + 6 t}) d x$ である。

積分すると

V (t) = π [\frac{2 ^{4 x + 4 t}}{4 lo g 2} - \frac{2 ^{2 x + 6 t}}{2 lo g 2}]_{x = t}^{0} = \frac{π}{4 lo g 2} {2^{4 t} (1 - 2^{4 t}) - 2 \cdot 2^{6 t} (1 - 2^{2 t})} = \frac{π}{4 lo g 2} {2^{4 t} - 2 \cdot 2^{6 t} + 2^{8 t}} = \frac{π}{4 lo g 2} 2^{4 t} (1 - 2^{2 t})^{2} .

(2)

$u = 2^{2 t}$ とおく。 $t < 0$ なので $0 < u < 1$ である。また $2^{4 t} = u^{2}$ だから $V (t) = \frac{π}{4 l o g 2} u^{2} (1 - u)^{2} = \frac{π}{4 l o g 2} {u (1 - u)}^{2} .$ $0 < u < 1$ で $u (1 - u) = \frac{1}{4} - (u - \frac{1}{2})^{2} ≦ \frac{1}{4}$ であり，等号は $u = 1/2$ のとき成り立つ。この値は $u = 2^{2 t}$ に対して $t = - 1/2$ で実現できる。

したがって $V (t)$ の最大値は $\frac{π}{4 l o g 2} (\frac{1}{4})^{2} = \frac{π}{64 l o g 2}$ である。

大阪大学 2008年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 2008年度
理系数学第4問