大阪大学 2008年度理系数学第1問解答・解説

問題

2次の正方行列 $A_{0}, A_{1}, A_{2}, A_{3}, \dots$ を

A_{0} = O, A_{n} = B + A_{n - 1} C (n = 1, 2, 3, \dots)

で定める．ただし， $O$ は2次の零行列， $B$ と $C$ は2次の正方行列とする．

(1) $A_{n} (E - C)$ を $B$ と $C$ を用いて表せ．ここで $E$ は2次の単位行列とする．

(2) $B$ と $C$ を $B = (0110)$ ， $C = (1 - 1 31)$ とするとき， $A_{3 n}$ を求めよ．

出典：大阪大学 2008年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

(1)は漸化式を展開して $A_{n} = B + B C + \dots + B C^{n - 1}$ とし，右から $E - C$ を掛けて行列版の等比和を作る。(2)では具体的な $C$ について $C^{3} = - 8 E$ を確認し，(1)の式に $n$ を $3 n$ として代入する。 $E - C$ が逆行列を持つので，最後に右から $(E - C)^{- 1}$ を掛けて $A_{3 n}$ を求める。

解答

(1)

漸化式 $A_{n} = B + A_{n - 1} C$ を順に展開する。 $A_{0} = O$ であるから， $A_{1} = B,$ $A_{2} = B + B C,$ $A_{3} = B + B C + B C^{2}$ となる。同様にして $A_{n} = B + B C + B C^{2} + \dots + B C^{n - 1}$ である。したがって右から $E - C$ を掛けると，

A_{n} (E - C) = B (E + C + C^{2} + \dots + C^{n - 1}) (E - C) = B (E - C^{n})

である。

(2)

与えられた

C = (1 - 1 31)

について計算すると，

C^{2} = (- 2 - 2 6 - 2)

であり，さらに

C^{3} = C^{2} C = (- 8 0 0 - 8) = - 8 E

である。したがって $C^{3 n} = (- 8)^{n} E$ である。

(1)で $n$ を $3 n$ に替えると $A_{3 n} (E - C) = B (E - C^{3 n}) = {1 - (- 8)^{n}} B$ である。ここで

E - C = (01 - 3 0)

であり，

(E - C)^{- 1} = (0 - \frac{1}{3} 10)

である。よって

A_{3 n} = {1 - (- 8)^{n}} B (E - C)^{- 1} = {1 - (- 8)^{n}} (0110) (0 - \frac{1}{3} 10) = {1 - (- 8)^{n}} (- \frac{1}{3} 0 01) .

別解。(2)では(1)を使わず，3個ずつまとめてもよい。 $A_{3 n} = B (E + C + C^{2}) + B (E + C + C^{2}) C^{3} + \dots + B (E + C + C^{2}) (C^{3})^{n - 1}$ である。上で求めた $C^{2}$ から

E + C + C^{2} = (0 - 3 90)

であり，

B (E + C + C^{2}) = (- 3 0 09)

である。さらに $C^{3} = - 8 E$ なので，

A_{3 n} = (- 3 0 09) {1 + (- 8) + \dots + (- 8)^{n - 1}} = (- 3 0 09) \frac{1 - ( - 8 ) ^{n}}{9} = {1 - (- 8)^{n}} (- \frac{1}{3} 0 01) .

大阪大学 2008年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 2008年度
理系数学第1問