問題
を2以上の自然数とする．
(1) 関数をの範囲で考える．このとき，曲線は上に凸であり，関数は極大値を1つだけとる．このことを示せ．
(2) 自然数の列を で定める．のうちで最大の値をとし，となるの個数をとする．このときであることを示せ．
(3) (2)でとなるのは，が2のときだけであることを示せ．
方針
(1)は ， を計算し，曲線が上に凸であることと が単調減少することを使う。端点で ， なので，導関数は1回だけ0になり，極大値も1つだけである。(2)は と見て，連続関数の上に凸性から差 が単調減少することを示す。すると最大をとる整数は1個，または隣り合う2個だけである。(3)では隣り合う2項が等しいと仮定し，互いに素な の累乗等式から しかないことを示す。
解答
(1)
を微分すると であり，さらに である。したがって曲線 は で上に凸であり， は単調に減少する。
端点での導関数の符号は および である。 は連続かつ単調減少なので， となる点は にただ1つ存在する。その点までは は増加し，その点以後は減少する。よって は極大値を1つだけとる。
(2)
である。対数関数は増加関数なので， の大小は の大小と同じである。
ここで とおく。 は単調減少であるから，区間 での増加量 は が増えるにつれて単調に減少する。実際， であり， が単調減少なので である。
したがって数列 は，差 が正である間は増加し，負になった後は減少する。もし となる があれば， となるが， は単調に減少するので，そのような場所は高々1か所である。
よって最大値をとる は1個，または隣り合う2個に限られる。したがって である。
(3)
とする。(2)より，最大値をとる2つの添字は隣り合っている。したがって，ある について である。すなわち である。 とおくと， であり，この等式は となる。 と は互いに素である。もし なら，左辺は で割り切れるが，右辺は で割り切れないので不可能である。したがって でなければならない。 を等式に戻すと であるから となり， である。
逆に のとき， であるから，最大値をとる は の2個であり，確かに である。
以上より， となるのは のときだけである。