大阪大学 2008年度後期・理系数学後期第4問解答・解説

問題

$x y$ 平面の単位円上に点 $P (cos t, sin t)$ $(0 ≦ t ≦ π)$ がある。点 $Q$ は $P Q = d$ を満たす $x$ 軸の正の部分にある点とする。ただし $d > 1$ は定数である。点 $R$ を線分 $P Q$ の中点とする。

(1) $R$ の座標を求めよ。

(2) $t$ が $0 ≦ t ≦ π$ の範囲を動くときに $R$ の描く曲線と $x$ 軸で囲まれる部分の面積を求めよ。

出典：大阪大学 2008年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第4問

方針

(1)は $Q = (u, 0)$ と置いて距離条件を解き、 $u > 0$ から正しい符号を選ぶ。(2)では $R = (x (t), y (t))$ の $x (t)$ が単調に減少することを確かめ、面積を $- \int_{0}^{π} y (t) x^{'} (t) d t$ で表す。残る積分の一つは $t$ と $π - t$ の対称性で0になる。

解答

(1)

$Q = (u, 0)$ とおく。 $P Q = d$ より

(u - cos t)^{2} + sin^{2} t = d^{2}

だから

u = cos t \pm d^{2} - sin^{2} t

である。ここで

d^{2} - sin^{2} t - cos^{2} t = d^{2} - 1 > 0

なので $d^{2} - sin^{2} t > ∣ cos t ∣$ である。したがって正の $x$ 軸上にある解は

u = cos t + d^{2} - sin^{2} t

である。 $R$ は $P, Q$ の中点だから

R (cos t + \frac{1}{2} d^{2} - sin^{2} t, \frac{1}{2} sin t)

となる。

(2)

x (t) = cos t + \frac{1}{2} d^{2} - sin^{2} t, y (t) = \frac{1}{2} sin t

とおく。微分すると

x^{'} (t) = - sin t - \frac{sin t cos t}{2 d ^{2} - sin ^{2} t} = - sin t (1 + \frac{cos t}{2 d ^{2} - sin ^{2} t}) .

$0 < t < π$ では $sin t > 0$ であり、(1)で示した $d^{2} - sin^{2} t > ∣ cos t ∣$ より括弧内は正である。よって $x (t)$ は単調に減少し、曲線は $x$ 軸より上を右から左へ進む。

したがって囲まれる面積を $S$ とすると

S = - \int_{0}^{π} y (t) x^{'} (t) d t = \frac{1}{2} \int_{0}^{π} sin^{2} t d t + \frac{1}{4} \int_{0}^{π} \frac{sin ^{2} t cos t}{d ^{2} - sin ^{2} t} d t .

第2の被積分関数は $t$ を $π - t$ に置き換えると符号だけが反転するので、その積分は0である。また

\int_{0}^{π} sin^{2} t d t = \frac{π}{2}

だから

S = \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2} = \frac{π}{4} .

よって求める面積は $d$ によらず $π /4$ である。

大阪大学 2008年度後期・理系数学 後期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 2008年度
後期・理系数学後期第4問