大阪大学 2008年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

$n$ を自然数とする。

(1) $4^{n} - 1$ が15の倍数となるような $n$ をすべて求めよ。

(2) (1)で求めた $n$ を小さい順に並べた数列を $a_{1}, a_{2}, \dots$ とする。自然数 $k$ に対して

A_{k} = {x ∣ x は a_{k} ≦ lo g_{4} x ≦ a_{k + 1} を満たす自然数}

とするとき、 $A_{k}$ に属する3の倍数の和 $S_{k}$ を求めよ。

(3) $k \to \infty lim \frac{S _{k}}{4 ^{4 k}}$ を求めよ。

出典：大阪大学 2008年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

(1)は $4^{2} \equiv 1 (mod 15)$ と $4 o t \equiv 1 (mod 15)$ から偶奇を判定する。(2)では $a_{k} = 2 k$ より $1 6^{k} ≦ x ≦ 1 6^{k + 1}$ となる。両端が3で割って1余ることを使い、区間内の3の倍数を等差数列として数える。(3)は得られた $S_{k}$ を $1 6^{2 k}$ で割る。

解答

(1)

$4^{2} = 16 \equiv 1 (mod 15)$ である。したがって

4^{n} \equiv {41 (n が奇数), (n が偶数) (mod 15)

である。よって $4^{n} - 1$ が15の倍数となるのは

n = 2, 4, 6, \dots

すなわち $n$ が正の偶数のときである。

(2)

(1)より $a_{k} = 2 k$ であるから、 $x \in A_{k}$ の条件は

4^{2 k} ≦ x ≦ 4^{2 k + 2}

である。ここで

L = 4^{2 k} = 1 6^{k}, U = 4^{2 k + 2} = 1 6^{k + 1}

とおく。 $16 \equiv 1 (mod 3)$ なので $L \equiv U \equiv 1 (mod 3)$ である。したがってこの区間にある最初の3の倍数は $L + 2$ 、最後の3の倍数は $U - 1$ である。

これらは公差3の等差数列で、その項数は

\frac{( U - 1 ) - ( L + 2 )}{3} + 1 = \frac{U - L}{3}

である。よって

S_{k} = \frac{U - L}{3} \cdot \frac{( L + 2 ) + ( U - 1 )}{2} = \frac{( U - L ) ( U + L + 1 )}{6} .

$U = 16 L$ を代入すると

S_{k} = \frac{15 L ( 17 L + 1 )}{6} = \frac{5}{2} 1 6^{k} (17 \cdot 1 6^{k} + 1)

を得る。

(3)

$4^{4 k} = 1 6^{2 k}$ だから

\frac{S _{k}}{4 ^{4 k}} = \frac{5}{2} (17 + \frac{1}{1 6 ^{k}}) .

ここで $1/1 6^{k} \to 0$ だから、求める極限は $85/2$ である。

大阪大学 2008年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

大阪大学 2008年度
後期・理系数学後期第1問