大阪大学 2008年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

媒介変数 $t$ によって

x = cos t, y = cos n t (0 ≦ t ≦ π)

と表される曲線を $y = f_{n} (x)$ $(- 1 ≦ x ≦ 1)$ とする。ただし $n$ は自然数である。

(1) $f_{1} (x), f_{2} (x), f_{3} (x)$ を求めよ。

(2) $n ≧ 2$ のとき $f_{n + 1} (x) = 2 x f_{n} (x) - f_{n - 1} (x)$ を示せ。

(3) $cos \frac{π}{4 n}$ は無理数であることを示せ。ただし $2$ が無理数であることを証明なしで用いてよい。

出典：大阪大学 2008年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

(1)は2倍角・3倍角の公式で $cos n t$ を $x = cos t$ の式にする。(2)は余弦の加法定理から $cos ((n + 1) t) + cos ((n - 1) t) = 2 cos t cos n t$ を使う。(3)では漸化式により各 $f_{n}$ が整数係数多項式であることを確認し、もし $cos (π / (4 n))$ が有理数なら $f_{n}$ の値も有理数になることを利用する。

解答

(1)

$x = cos t$ だから

f_{1} (x) = x .

また2倍角、3倍角の公式より

cos 2 t = 2 cos^{2} t - 1, cos 3 t = 4 cos^{3} t - 3 cos t

なので

f_{2} (x) = 2 x^{2} - 1, f_{3} (x) = 4 x^{3} - 3 x

である。

(2)

余弦の加法定理から

cos ((n + 1) t) + cos ((n - 1) t) = 2 cos t cos n t

が成り立つ。 $x = cos t$ および $f_{j} (x) = cos j t$ を用いると

f_{n + 1} (x) + f_{n - 1} (x) = 2 x f_{n} (x)

となる。よって

f_{n + 1} (x) = 2 x f_{n} (x) - f_{n - 1} (x)

である。

(3)

(1)の $f_{1} (x) = x, f_{2} (x) = 2 x^{2} - 1$ は整数係数多項式である。(2)の漸化式から、 $f_{j - 1}, f_{j}$ が整数係数多項式なら $f_{j + 1} = 2 x f_{j} - f_{j - 1}$ も整数係数多項式である。したがって全ての自然数 $n$ について $f_{n} (x)$ は整数係数多項式である。

ここで

α = cos \frac{π}{4 n}

が有理数であると仮定する。整数係数多項式に有理数を代入した値は有理数だから、 $f_{n} (α)$ は有理数となる。一方、定義より

f_{n} (α) = cos (n \cdot \frac{π}{4 n}) = cos \frac{π}{4} = \frac{2}{2}

である。これは $2$ が無理数であることに反する。よって

cos \frac{π}{4 n}

は無理数である。

大阪大学 2008年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

大阪大学 2008年度
後期・理系数学後期第3問