大阪大学 2008年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

$a, b$ を $a > b > 0$ を満たす定数とし、直線 $l, m$ をそれぞれ $y = a x, y = b x$ とする。点 $P_{1} (p, q)$ を $l$ 上にも $m$ 上にもない点とする。

(1) $P_{1}$ から $l$ に下ろした垂線が $l$ と交わる点を $Q$ 、 $P_{1}$ から $m$ に下ろした垂線が $m$ と交わる点を $R$ とする。 $Q, R$ の座標を求めよ。

(2) 四角形 $P_{1} Q P_{2} R$ が平行四辺形となるように点 $P_{2}$ をとる。 $P_{1}$ を $P_{2}$ に移す一次変換 $f$ を表す行列 $M$ を求めよ。

(3) 一次変換 $f$ によって、 $P_{2}$ は $P_{3}$ に、 $P_{3}$ は $P_{4}$ に、以下同様に $P_{n - 1}$ は $P_{n}$ に移るとする。このとき $P_{n}$ の座標を求めよ。

出典：大阪大学 2008年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

(1)は方向ベクトル $(1, a), (1, b)$ への正射影を内積で求める。(2)は平行四辺形の位置ベクトルから $P_{2} = Q + R - P_{1}$ とし、係数を行列にまとめる。(3)では $M$ が $(c e e - c)$ の形になることを利用し、 $M^{2}$ が単位行列の定数倍になることから偶奇で累乗を求める。

解答

(1)

直線 $l$ の方向ベクトルは $(1, a)$ である。したがって $P_{1} = (p, q)$ の $l$ への正射影は

Q = \frac{p + a q}{1 + a ^{2}} (1, a)

である。同様に、直線 $m$ の方向ベクトルは $(1, b)$ だから

R = \frac{p + b q}{1 + b ^{2}} (1, b)

である。よって

Q (\frac{p + a q}{1 + a ^{2}}, \frac{a ( p + a q )}{1 + a ^{2}}), R (\frac{p + b q}{1 + b ^{2}}, \frac{b ( p + b q )}{1 + b ^{2}})

となる。

(2)

四角形 $P_{1} Q P_{2} R$ がこの順に平行四辺形なので、位置ベクトルについて

P_{2} = Q + R - P_{1}

が成り立つ。(1)の式を代入して $p, q$ の係数をまとめると

(p_{2} q_{2}) = M (p q)

ただし

M = \frac{1}{( 1 + a ^{2} ) ( 1 + b ^{2} )} (1 - a^{2} b^{2} (a + b) (1 + ab) (a + b) (1 + ab) a^{2} b^{2} - 1)

である。

(3)

D = (1 + a^{2}) (1 + b^{2}), c = \frac{1 - a ^{2} b ^{2}}{D}, e = \frac{( a + b ) ( 1 + ab )}{D}

とおくと

M = (c e e - c)

である。直接計算すると

M^{2} = (c^{2} + e^{2}) (1001)

であり、さらに整理して

c^{2} + e^{2} = \frac{( 1 + ab ) ^{2}}{( 1 + a ^{2} ) ( 1 + b ^{2} )}

を得る。そこで

ρ = \frac{1 + ab}{( 1 + a ^{2} ) ( 1 + b ^{2} )}

とおけば $M^{2} = ρ^{2} E$ である。なお

(1 + a^{2}) (1 + b^{2}) - (1 + ab)^{2} = (a - b)^{2} > 0

より $0 < ρ < 1$ である。

初期点を列ベクトルで $P_{1} = (p, q)^{T}$ と書けば $P_{n} = M^{n - 1} P_{1}$ である。したがって、 $n = 2 k + 1$ のとき

P_{n} = ρ^{2 k} (p q),

$n = 2 k$ のとき

P_{n} = ρ^{2 k - 2} (c p + e q e p - c q) .

これが求める座標である。

大阪大学 2008年度後期・理系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

大阪大学 2008年度
後期・理系数学後期第2問