問題
媒介変数 を用いてと表される曲線をとする。ここで
であり、は正の定数である。
(1) を示せ。
(2) 点を通るの接線が2本引けるの領域を図示せよ。
(3) 点を通る2本の接線が直交する場合を考える。このようなが存在するためのの条件、およびそのときのの軌跡を図示せよ。
出典：大阪大学 2007年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第4問
方針
(1)は を直接微分する。(2)は が上側の双曲線 であることを使い、媒介変数 の接線が を通る条件を の二次方程式にする。異なる2正根をもつ条件を判別式・和・積で表す。(3)は2根に対応する傾きの積を、根と係数の関係で の式へ直す。
解答
(1)
だから
一方
なので、主張された等式が成り立つ。
(2)
は
を満たす。したがって は双曲線の上側の枝である。 に対応する点での接線は
である。これが を通る条件を整理すると
となる。
この二次方程式が異なる2正根をもつための必要十分条件は
である。よって求める領域は
すなわち、2本の漸近線 の上側にあり、双曲線 より下側にある開領域である。境界は含まない。
(3)
2本の接線に対応する正根を 、その傾きを とする。(1)より
また(2)の二次方程式の根と係数の関係を用いて整理すると
2接線が直交する条件は だから
この円が(2)の領域内に点をもつための必要十分条件は
である。実際、 なら は(2)の不等式を満たす。逆に円の右辺が正でなければ点は存在しない。
したがって条件は であり、軌跡は円
のうち
を満たす上側の弧である。端点は含まれず、その座標は
である。