大阪大学 2007年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

空間に8点 $A (0, 0, 0)$ 、 $B (1, 0, 0)$ 、 $C (1, 1, 0)$ 、 $D (0, 1, 0)$ 、 $E (0, 0, 1)$ 、 $F (1, 0, 1)$ 、 $G (1, 1, 1)$ 、 $H (0, 1, 1)$ をとる。

(1) 四面体 $A C F H$ を平面 $z = t$ $(0 ≦ t ≦ 1)$ で切断したとき、切断面の面積を $t$ で表せ。

(2) 四面体 $A C F H$ と四面体 $B D E G$ の重なり合う部分の体積を求めよ。

出典：大阪大学 2007年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

(1)は四面体内の点を4頂点の非負係数による表示にし、 $z = t$ を固定する。2つの独立な係数が長方形を動き、 $(x, y)$ への変換で面積が2倍になる。(2)では両四面体の水平断面を $u = x + y, v = x - y$ で表すと、重なりが長方形になり、その面積を高さで積分できる。

解答

(1)

四面体 $A C F H$ 内の点は、非負の実数 $α, β, γ, δ$ を用いて

α A + β C + γ F + δ H, α + β + γ + δ = 1

と表せる。その座標は

(x, y, z) = (β + γ, β + δ, γ + δ)

である。

$z = t$ とすると $γ + δ = t$ 、 $α + β = 1 - t$ だから

0 ≦ β ≦ 1 - t, 0 ≦ γ ≦ t, δ = t - γ .

したがって

(x, y) = (β + γ, β + t - γ) .

$(β, γ)$ 平面の長方形の面積は $t (1 - t)$ であり、辺方向 $(1, 1), (1, - 1)$ が作る平行四辺形の面積倍率は2である。よって切断面積は

2 t (1 - t) .

(2)

(1)の係数を逆に解くと、四面体 $A C F H$ の高さ $z = t$ の断面は

∣ x - y ∣ ≦ t, t ≦ x + y ≦ 2 - t

で表される。

四面体 $B D E G$ は、立方体の中心に関して $A C F H$ を点対称に移したものである。したがって高さ $t$ の断面は

∣ x - y ∣ ≦ 1 - t, 1 - t ≦ x + y ≦ 1 + t

で表される。

$h = min (t, 1 - t)$ とおくと、両断面の重なりは

∣ x - y ∣ ≦ h, 1 - h ≦ x + y ≦ 1 + h

である。ここで $u = x + y, v = x - y$ とおくと、 $uv$ 平面では縦横とも長さ $2 h$ の長方形になる。また $d x d y = \frac{1}{2} d u d v$ だから、重なりの断面積は

2 h^{2} = 2 min (t, 1 - t)^{2}

である。

よって求める体積は対称性を用いて

2 \int_{0}^{1/2} 2 t^{2} d t = 4 [\frac{t ^{3}}{3}]_{0}^{1/2} = \frac{1}{6}

である。

大阪大学 2007年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 2007年度
後期・理系数学後期第3問