大阪大学 2007年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

関数 $y = lo g x$ と $y = \frac{a}{x ^{2}}$ を考える。ただし対数は自然対数とし、 $a > 0$ とする。

(1) 2曲線の交点の $x$ 座標を $p$ で表すとき、 $a$ を $p$ を用いて表せ。

(2) $y = lo g x$ 、 $y = a / x^{2}$ 、 $x = 1$ 、 $x = 2$ で囲まれる部分の面積 $S$ を $p$ を用いて表せ。

(3) $a$ を動かすとき、 $S$ の最小値を求めよ。

出典：大阪大学 2007年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

(1)は交点条件をそのまま $a$ について解く。(2)では $x^{2} lo g x$ が $x > 1$ で増加することから、2曲線の上下は $x = p$ で入れ替わる。 $p < 2$ と $p ≧ 2$ に分けて絶対値付きの面積を積分する。(3)は各範囲の式を微分する。

交点では

lo g p = \frac{a}{p ^{2}}

だから

a = p^{2} lo g p .

$a > 0$ より $p > 1$ である。また $x^{2} lo g x$ は $x > 1$ で単調に増加するため、この交点は一意である。

G (x) = x lo g x - x + \frac{a}{x}

とおくと

G^{'} (x) = lo g x - \frac{a}{x ^{2}}

である。

まず $1 < p < 2$ のとき、 $1 ≦ x < p$ では $a / x^{2} > lo g x$ 、 $p < x ≦ 2$ では逆になる。したがって

S = G (1) + G (2) - 2 G (p) .

ここで $a = p^{2} lo g p$ より

G (1) = - 1 + a, G (2) = 2 lo g 2 - 2 + \frac{a}{2}, G (p) = 2 p lo g p - p .

よって

S = 2 lo g 2 - 3 + \frac{3}{2} p^{2} lo g p - 4 p lo g p + 2 p (1 < p < 2) .

次に $p ≧ 2$ のとき、区間 $[1, 2]$ では常に $a / x^{2} ≧ lo g x$ だから

S = G (1) - G (2) = 1 - 2 lo g 2 + \frac{1}{2} p^{2} lo g p (p ≧ 2) .

$1 < p < 2$ における式を微分すると

S^{'} (p) = (3 p - 4) (lo g p + \frac{1}{2}) .

この範囲では $lo g p + 1/2 > 0$ なので、 $S$ は $1 < p < 4/3$ で減少し、 $4/3 < p < 2$ で増加する。一方 $p ≧ 2$ では

S^{'} (p) = p lo g p + \frac{p}{2} > 0

である。したがって全体の最小は $p = 4/3$ のときである。その値は

S_{m i n} = 2 lo g 2 - \frac{8}{3} lo g \frac{4}{3} - \frac{1}{3} .