大阪大学 2007年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

自然数 $r$ と負でない整数 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{r}$ が次の4条件を満たすとする。

r ≧ 3, k = 1 \sum r k a_{k} = 24, a_{1} + a_{2} + \dots + a_{r} ≧ 20, a_{r} > 0.

(1) $a_{2} + 2 a_{3} + \dots + (r - 1) a_{r} ≦ 4$ を示せ。

(2) $r ≦ 5$ を示せ。

(3) 条件を満たす $r$ と、そのときの $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{r}$ の組を全て求めよ。

出典：大阪大学 2007年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

(1)は重み付き和から通常の和を引く。(2)は得られた非負整数の和のうち最後の項だけを残す。(3)は $3 ≦ r ≦ 5$ の各場合に、 $\sum_{k = 2}^{r} (k - 1) a_{k} ≦ 4$ と $a_{r} > 0$ を使って末尾から列挙し、最後に $a_{1}$ を元の等式で決める。

解答

(1)

与えられた等式と不等式から

a_{2} + 2 a_{3} + \dots + (r - 1) a_{r} = k = 1 \sum r k a_{k} - k = 1 \sum r a_{k} ≦ 24 - 20 = 4.

(2)

全ての $a_{k}$ は負でなく、 $a_{r} > 0$ は整数だから $a_{r} ≧ 1$ である。(1)の左辺の最後の項に注目すると

r - 1 ≦ (r - 1) a_{r} ≦ 4.

よって $r ≦ 5$ である。

(3)

(1)(2)より $r = 3, 4, 5$ を調べればよい。

$r = 5$ のとき、

a_{2} + 2 a_{3} + 3 a_{4} + 4 a_{5} ≦ 4, a_{5} ≧ 1

だから $a_{5} = 1, a_{2} = a_{3} = a_{4} = 0$ である。元の等式から $a_{1} = 19$ となる。

$r = 4$ のとき、 $a_{4} ≧ 1$ と

a_{2} + 2 a_{3} + 3 a_{4} ≦ 4

より $a_{4} = 1, a_{3} = 0, a_{2} = 0$ または1である。元の等式から

(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}) = (20, 0, 0, 1), (18, 1, 0, 1)

を得る。

$r = 3$ のとき

a_{2} + 2 a_{3} ≦ 4, a_{3} ≧ 1

である。 $a_{3} = 1$ なら $a_{2} = 0, 1, 2$ 、 $a_{3} = 2$ なら $a_{2} = 0$ である。したがって

(a_{1}, a_{2}, a_{3}) = (21, 0, 1), (19, 1, 1), (17, 2, 1), (18, 0, 2)

である。

以上の7組はいずれも元の4条件を満たすので、これらが全てである。

大阪大学 2007年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

大阪大学 2007年度
後期・理系数学後期第1問