大阪大学 2006年度後期・理系数学後期第4問解答・解説

問題

袋 $A$ には1から $n$ までの整数が重複なく書かれた $n$ 個の玉があり、袋 $B$ には1から $n$ までの整数が書かれた $m$ 個の玉がある。袋 $B$ の数字を $x_{1}, \dots, x_{m}$ とする。各袋から1個ずつ取り出し、 $A$ の数字が $B$ より大きい確率を $p$ 、小さい確率を $q$ とする。

(1) $m = 2$ のとき $p, q$ を $x_{1}, x_{2}, n$ で表せ。

(2) $m = n$ のとき $p = q$ となるための $x_{1}, \dots, x_{n}$ の条件を求めよ。

出典：大阪大学 2006年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第4問

方針

袋 $B$ から数字 $x_{i}$ が選ばれた場合に条件付ける。袋 $A$ には $x_{i}$ より大きい数字が $n - x_{i}$ 個、小さい数字が $x_{i} - 1$ 個あるので、それぞれを $i$ について平均する。

解答

袋 $B$ から数字 $x_{i}$ の玉を取り出したとする。このとき袋 $A$ には $x_{i}$ より大きい数字が $n - x_{i}$ 個、 $x_{i}$ より小さい数字が $x_{i} - 1$ 個ある。したがって一般に

p = \frac{1}{m} i = 1 \sum m \frac{n - x _{i}}{n} = \frac{mn - \sum _{i = 1}^{m} x _{i}}{mn},

q = \frac{1}{m} i = 1 \sum m \frac{x _{i} - 1}{n} = \frac{\sum _{i = 1}^{m} x _{i} - m}{mn} .

(1)

$m = 2$ を代入して

p = \frac{2 n - x _{1} - x _{2}}{2 n}, q = \frac{x _{1} + x _{2} - 2}{2 n} .

(2)

$m = n$ のとき

p = \frac{n ^{2} - \sum _{i = 1}^{n} x _{i}}{n ^{2}}, q = \frac{\sum _{i = 1}^{n} x _{i} - n}{n ^{2}} .

よって $p = q$ であることは

n^{2} - i = 1 \sum n x_{i} = i = 1 \sum n x_{i} - n

と同値であり、整理すると

i = 1 \sum n x_{i} = \frac{n ( n + 1 )}{2} .

したがって必要十分条件は

x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n} = \frac{n ( n + 1 )}{2}

である。

大阪大学 2006年度後期・理系数学 後期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 2006年度
後期・理系数学後期第4問