大阪大学 2006年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

放物線 $y = x^{2}$ 上の相異なる3点 $P, Q, R$ が、 $△ P QR$ が正三角形になるように動く。

(1) $P, Q, R$ の $x$ 座標を $p, q, r$ とするとき、 $p^{2} + q^{2} + r^{2}$ を $pq + q r + r p$ のみで表せ。

(2) $△ P QR$ の重心はある一つの放物線上にあることを示せ。

出典：大阪大学 2006年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

放物線上の2点を結ぶ直線の傾きが、その2点の $x$ 座標の和になることを使う。正三角形の3辺の方向角は60度ずつ異なり、それらの傾きの2つずつの積の和は常に $- 3$ である。これを対称式へ直し、(2)では重心座標から $pq + q r + r p$ を消去する。

放物線上の2点 $(u, u^{2}), (v, v^{2})$ を結ぶ直線の傾きは

\frac{u ^{2} - v ^{2}}{u - v} = u + v

である。したがって三角形の3辺の傾きは

p + q, q + r, r + p

である。

正三角形の3辺の方向角を $θ, θ + 6 0^{\circ}, θ - 6 0^{\circ}$ とできる。これらの正接を $m_{1}, m_{2}, m_{3}$ とすると、正接の加法定理から

m_{1} m_{2} + m_{2} m_{3} + m_{3} m_{1} = - 3.

実際、 $t = tan θ$ とおき、 $tan (θ \pm 6 0^{\circ}) = (t \pm 3) / (1 \mp 3 t)$ を代入すれば直ちに確かめられる。よって

(p + q) (q + r) + (q + r) (r + p) + (r + p) (p + q) = - 3.

左辺を展開して

p^{2} + q^{2} + r^{2} + 3 (pq + q r + r p) = - 3

を得る。したがって

p^{2} + q^{2} + r^{2} = - 3 (pq + q r + r p) - 3.

重心を $(X, Y)$ とし、 $s = p + q + r, t = pq + q r + r p$ とおく。(1)の左辺を $A = p^{2} + q^{2} + r^{2}$ とすれば

A = - 3 t - 3, s^{2} = A + 2 t .

第1式から $t = - (A + 3) /3$ なので、第2式へ代入すると

s^{2} = A - \frac{2 ( A + 3 )}{3} = \frac{A - 6}{3} .

よって $A = 3 s^{2} + 6$ である。重心座標は $X = s /3, Y = A /3$ だから

Y = s^{2} + 2 = 9 X^{2} + 2.

したがって重心は、一定の放物線

Y = 9 X^{2} + 2

上にある。